Двухэлектронные квантовые системы, атом гелия и гелиеподобные ионы, страница 11

ЛЕКЦИЯ 28

КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ВРЕМЕНИ

Рассматривая стационарные состояния квантовых систем, мы предполагали их изолированными от изменяющихся внешних воздействий, а их гамильтонианы -- не зависящими от времени. Реальные микрообъекты редко находятся в таких идеализированных условиях. Так, например, атомы и молекулы газа испытывают взаимные соударения, в результате которых они могут переходить в возбужденные или ионизированные состояния. В конденсированном веществе они испытывают сильное, зависящее от времени влияние друг на друга. Помещая вещество в электромагнитное поле, мы также подвергаем атомы и молекулы воздействию, зависящему от времени.

Во всех этих случаях гамильтониан квантовой системы становится функцией времени, что сильно усложняет проблему решения уравнения Шредингера. Его удается решить лишь приближенно, рассматривая воздействие на квантовую систему как малое возмущение.

Пусть гамильтониан квантовой системы имеет вид:

(28.1)

Требуется решить уравнение Шредингера

(28.2)

Здесь уже не имеет смысла говорить о поправках к собственным значениям оператора **, поскольку конфигурационные и временные переменные в уравнении (28.2) не разделяются и задачи о нахождении собственных значений оператора ** не возникает. Уравнение (28.2) не имеет стационарных решений, т.е. решений, временная зависимость которых имеет простой экспоненциальный вид -- ***. Можно ставить лишь задачу о нахождении поправок к волновой функции нулевого приближения.

1. Первое приближение теории возмущений

Будем искать решение в виде:

(28.3)

где *** удовлетворяет уравнению

(28.4)

В формуле (28.3) мы пишем сумму по невозмущенным состояниям, как бы предполагая, что квантовая система обладает только дискретным спектром. Однако в этом предположении нет необходимости, и весь дальнейший вывод легко обобщается на случай, когда наряду с дискретным имеется и непрерывный участок спектра. Для этого к сумме (28.3) достаточно добавить интеграл по непрерывному спектру.

Подставляя (28.3) в (25.2) и учитывая (25.4), получим

(28.5) .

Умножим обе части последнего равенства на *** и проинтегрируем по конфигурационному пространству системы. Вследствие ортонормированности функций ** и ** это нам даст:

(28.6)  , где

*** .

Решение системы уравнений (28.6) будем искать в виде

(26.7)

Выберем в качестве нулевого приближения волновую функцию **-го стационарного состояния

***

Такой выбор нулевого приближения означает, что необходимо положить ***. Кроме того, при решении системы уравнений (28.6) необходимо задать начальные условия. В зависимости от характера задачи это можно сделать двояким образом.

Если нас интересует не только установившаяся, но и переходная стадия эволюции системы, начальные условия следует накладывать в момент включения взаимодействия. Естественно выбрать этот момент за начало отсчета времени **. В этом случае в качестве начальной волновой функции выбирается ***, а на коэффициенты *** накладывается условие ***.

если важен лишь установившийся процесс, то момент включения возмущения удобно отнести в далекое прошлое (**), и тогда начальные условия примут вид: ***, ***.

приравнивая в (28.6) члены одного порядка малости, получим

(28.8)

Мы видим, что коэффициент ** фактически наделен двумя индексами * и *, второй из которых указывает, к какому стационарному состоянию ищется поправка. В дальнейшем у искомых коэффициентов будем писать оба этих индекса.

Интегрируя (28*8) с учетом начальных условий, находим

(28.9,а)

(28.9,б)

Заметим, что в первом из выражений (28.9) интегрирование можно распространить на отрицательную полуось, поскольку *** при ***. Тогда оба выражения будут иметь одинаковый вид.

Смысл полученных коэффициентов состоит в следующем. До момента включения взаимодействия (*** или ***) квантовая система находилась в стационарном состоянии ***. Возмущение трансформирует это состояние в суперпозицию стационарных состояний