Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 31

.    .

Тогда .

Примеры   1) Написать формулу плотности нормального распределения, если его параметры а = 3 и σ = 1.

2) Найти числовые характеристики нормального распределения Х, если плотность вероятности .

3) Является ли функция  плотностью нормального распределения?

Функция распределения F(x) для нормальной случайной величины имеет вид:   и неудобна для использования в задачах. Сделаем замену переменной , т.е. нормируем величину Х, тогда в задачах можно использовать интегральную функцию Лапласа , табулированную.

1. Найти вероятность попадания Х в заданный интервал

Вывод Чтобы найти , необходимо нормировать границы ,  и найти значения Φ(х) в этих точках по таблице.

.

2) Найти вероятность заданного отклонения

Итак: .

3) Правило «3-х сигм)

  ( значений Х попадут в интервал (а – σ;  а + σ)).

.

.

Вывод:  с вероятностью 0,9973 (близкой к единице) можно утверждать, что значения нормальной случайной величины находятся в интервале (а - 3σ; а + 3σ). Длина интервала 6σ.

Пример:  1) Размер деталей, изготовленных на станке-автомате, подчиняется нормальному закону, σ = 3 мм. Найти вероятность того, что размер наудачу взятой детали отклонится от проектного размера 12 см не более, чем на 5 мм (или найти количество деталей из 100 с данным допуском).

Имеем: а = 12 см; σ = 3 мм = 0,3 см; e = 0,5 см.

.

Следовательно, около 90 шт. деталей из 100 шт. поступают с таким допуском.

2) Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадут детали со станка-автомата.

; ; .

Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова:

Если случайная величина Х представляет собой сумму большого числа случайных величин Х₁, Х₂, ..., Х_n  с любыми законами распределения, то она распределена нормально, при этом важно, чтобы среди слагаемых случайных величин Х_i не было резко выделяющихся по значению σ_i.

Понятие о моментах распределения:

Определение  Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется  .

Для ДСВ Х ;  для НСВ Х .