Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 12

; ;  . События А, В, С независимые.

D: все извлеченные шары черные; .  .

Теорема сложения

1. Вероятность осуществления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В равно сумме вероятностей этих событий .

Доказательство:

Пусть n – общее число элементарных исходов испытания; m₁ – число исходов из n, благоприятствующих событию А; m₂ из n благоприятствуют событию В.

Тогда событию А + В будут благоприятствовать m₁ + m₂ исходов.

Теорема распространяется на любое конечное число событий.

Пример:   В лотерее 1000 билетов: 1б. – 500 грн; 10 б. – 100 грн; 50 б. – 20 грн;  100 б. – 5 грн. Найти вероятность выиграть не менее 20 грн на приобретенный наудачу билет.

Пусть А: выиграть 500 грн. ;

В: выиграть 100 грн.;           ;

С: выиграть 20 грн.;            ;

D: выиграть не менее 20 грн; ; А, В, С – несовместные события.

2. Вероятность осуществления хотя бы одного из двух совместных событий  А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления

Доказательство:

1) , причем события  и  несовместные

2) , причем события  и  несовместные

.

3) , причем события ,  и  несовместные

.

из (1)

из (2)

Следовательно, .

Пример:  Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий Р₁ = 0,7; Р₂ = 0,8. Найти вероятность попадания в цель при одном залпе хотя бы одним из орудий.

Событие А – попадание в цель первым орудием, В – попадание в цель вторым орудием независимые совместные события.

Замечание:  Теоремы умножения и сложения могут быть доказаны только для классической вероятности (схема случаев). При строгих построениях курса, их принимают в качестве аксиом, полная система которых была принята в 1936 г. А.Н. Колмагоровым.

7. Следствия из теорем умножения и сложения