Анализ состояния и структуры аварийности на автомобильном транспорте в Курьинском районе Алтайского края, страница 24

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности:

              1                     (x_i-M(x))²

S(x) =√2π         ℓ     2(∂(x))²

Где M(x)  и  ∂(x)  - математическое ожидание и средне-квадратичное отклонение  случайной величины Х;

I – номера разрядов.

Параметр M(x)  является центром группирования случайных величин.

Параметр  ∂(x)  является характеристикой рассеивания случайных величин.

Если строить график, то нормальная кривая имеет следующие условия:

q  параметр M(x)  характеризует положение распределения на оси абсцисс;

q  параметр  ∂(x)  характеризует форму  кривой распределения;

q  нормальная кривая симметрична относительно ординаты, проходящей через точку  х = М(х) .

q  При изменении математического ожидания M(x), ∂(x)=const.  Кривая сохраняет свой вид лишь смещаясь вдоль оси абсцисс.

q  Кривая имеет вид максимум при  X=M(x)   равным   1/(∂(x) √2π)

q  При x →∞  ветви кривой ассиметрически приближаются к оси абсцисс

q  При увеличении  ∂(x)   кривая распределения  становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс, а при уменьшении – вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. В каждой их половин можно получить  две части, в первой кривая выгнута вверх, а во второй – вниз: между ними точка перегиба с абсциссой равной X=M(x) – по оси абсцисс

q   в пределах от - ∂(x) до + ∂(x) заключено приблизительно 68% всей площади от 

     - 2∂(x) до + 2 ∂(x)  - 95% и от  - 3∂(x) до + 3∂(x) – 99,7%.

Из последнего пункта вытекает следующее свойство нормального закона распределения : рассеивание случайной величины, в основном, укладывается на участке M(x)=3∂(x).  Следовательно, зная среднеквадратическое отклонение  ∂(x)  и математическое ожидание M(x)   случайной величины Х , можно ориентировочно указать интервал ее практически возможных значений. На основании этого правила можно ориентировочно  определить среднее квадратичное отклонение случайной величины, разделив разницу между ее максимальным и минимальным значением. Определение точек теоретической кривой плотности вероятности удобнее проводить в табличной форме. При этом  теоретические частности подсчитываются  через табличную плотность вероятностей:

                             1                

              (Z) =  √2π       -  ℓ ^{-2/2 2}

 

 

                              X²-M(x)

              Z =      ∂

Интегральная функция нормального распределения имеет вид:

                                  Z1_____             (xi-i_i(x))_

              Ф(х) = ∫ (∂(x) √2π     ℓ       2∂(x)²        dx

                  -∞-

Для ее вычисления удобнее провести центрирование и нормирование данной функции, для чего положим:

Xi-M(x)      = Z                     dx= ∂(x)dz

    ∂

Табличная функция нормального закона выглядит так:

                                    2

                             1_____  z          -2/2     dz 

              Ф(х) = √2π        ∫    ℓ                                      

-∞

При рассмотрении интегральной кривой на оси ординат принято откладывать наклоненную частность в процессах. Поэтому в графике дается величина накопленной частности в процессах, интегральная кривая  строится обычно под кривой плотности вероятности с тем же масштабом разрядов по оси ординат.

Для проверки согласованности эмпирического и теоретического распределения

вычисляют наиболее распространенный критерий согласия Х или Пирсона по формуле:

                          (M_i-M_iτ)²    

              Х2= ∑     M_iτ          

Где теоретическая частота находится по выражению:

                                    f(z)

                Min =  ∂(z)     * N

Далее определяется число степеней свободы, как разность между числом интервалов  n и связей  S  :

                   Z=n-S^x