3.1. Базисные функции ряда Фурье.
3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье.
3.3.Временная и частотные области сигнала.
3.4. Комплексная форма ряда Фурье.
3.5. Интеграл Фурье.
3.6. Преобразование Фурье.
3.7. Синус- и косинус-преобразования.
Page 2
Преобразование Фурье
3.12. Равенство Парсеваля.
3.13. Применение равенства Парсеваля.
3.14. Энергия гармонического осциллятора.
3.15. Приложения преобразования Фурье.
3.16. Таблица преобразований Фурье.
Page 3
3.1. Базисные функции ряда Фурье
Ряд Фурье и преобразование Фурье – основные инструменты гармонического анализа.
Ряды Фурье и преобразование Фурье были созданы для изучения распространения тепла в твердых и жидких средах. Фурье исследовал тепловые процессы. Один из опытов был посвящен распространению тепла по железному кольцу. Опыт состоит в следующем. Часть кольца на некоторое время погружается в раскаленные угли. Когда она раскалится докрасна, кольцо вынимают из углей и закапывают в песок. Затем измеряют изменение температуры в точках кольца с течением времени.
Page 4
3.1. Базисные функции ряда Фурье
График изменения температуры плавно нарастает (в холодной части) и убывает (в раскаленной части) в форме функции синуса. Тепло проходит по кольцу и возвращается в исходную точку (период 2π). Но тепло движется по кольцу в направлении часовой стрелки и противоположном направлении, встречаясь на половине кольца.
Page 5
3.1. Базисные функции ряда Фурье
В то же время исходная область нагрева не остыла. Получается два источника тепла и период изменения температуры становится равным π. Температура постепенно выравнивается и в конце концов становится одинаковой по всему кольцу.
Фурье нашел, что первоначальное нерегулярное распределение можно разложить на множество простых синусоид, каждая из которых имеет свой максимум температуры и свою фазу, т.е. свои источники распространения тепла на кольце.
Page 6
3.1. Базисные функции ряда Фурье
Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг), была названа главной гармоникой, а составляющие с меньшими периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье.
Фурье свёл функцию распределения тепла, трудно поддающуюся математическому описанию, к удобным для анализа суммам синусов и косинусов, оказалось, что эти суммы очень точно описывают распределение тепла в твердом теле.
Page 7
3.1. Базисные функции ряда Фурье
В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции.
Это базисные функции ряда Фурье. Главная гармоника имеет период T, соответственно ω = 2π/T – частота (угловая скорость). Весовая функция s(t) = 1.
Ортогональность базисных функций разложения означает, что
Проверим это свойство интегрированием.
Page 8
3.1. Базисные функции ряда Фурье
Проверим ортогональность сигналов
с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке t € [-T/2,+T/2]
T=2π/ω, где m, n – целые числа.
Найдем скалярное произведение
Применим формулу
3.1. Базисные функции ряда Фурье
Если m ≠ n (при интегрировании нужно будет делить на m - n), то
3.1. Базисные функции ряда Фурье
То есть, для любых целых параметров m ≠ n сигналы ортогональны. При m=n=0 получаем
То есть нулевой сигнал x(t)=0 ортогонален сам себе. (Такой необычный случай желательно исключить).
Page 11
3.1. Базисные функции ряда Фурье
При m=n ≠0 получаем
То есть, норма сигнала sin nωt равна
норма сигнала cos nωt также равна
3.1. Базисные функции ряда Фурье
Окончательно получаем:
1) норма сигнала sin nωt при n=1,2,… равна
при n=0 норма sin nωt равна 0.
2) норма сигнала cos nωt при n=1,2,… также равна
при n=0 норма cos nωt равна
Ввиду отличия норм нулевой базисной функции F0 коэффициенты разложения при этой функции имеют особый вид, не соответствующий общей формуле коэффициентов.
Page 13
3.1. Базисные функции ряда Фурье
3) Сигнала sin nωt и sin mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны.
4) Сигнала cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны (доказать).
5) Сигнала sin nωt и cos mωt для всех целых n и m ортогональны (доказано в п. 2.2).
Исходя их этих результатов легко получить коэффициенты разложения сигнала в ряд Фурье, используя общую формулу коэффициентов разложения в ортогональный ряд.
3.1. Базисные функции ряда Фурье
Упражнение. Проверить ортогональность сигналов
3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения
Вначале найдем коэффициенты A0, B0
Page 16
3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Так как sin0 =0, то B0 – любое число, для определенности положим его равным нулю, B0 =0.
