Преобразование Фурье. Базисные функции ряда Фурье. Коэффициенты разложения в ряд Фурье, страница 4

Page 46

3.6. Преобразование Фурье

• Умножим интеграл от sin(·) на i/2π
• и сложим с интегралом Фурье

Теперь после внесения под общий знак интеграла и применения формулы Эйлера :

Page 47

3.6. Преобразование Фурье

• или

Интегральное преобразование

Называется прямым преобразованием Фурье. Оно записывается как

Page 48

3.6. Преобразование Фурье

• Интегральное преобразование
• Называется обратным преобразованием Фурье.

Функция X(z) называется Фурье-образом функции x(t), а функция x(t) называется Фурье-прообразом функции X(z). По аналогии со спектром амплитуд ряда Фурье, |X(z)| называется амплитудно-частотной сигнала x(t), а Arg(X(z)) фазовой характеристикой сигнала x(t).

Page 49

3.6. Преобразование Фурье

• Из формулы вывода преобразования имеем
• Мы получаем, что
• Если в формуле переставить интегралы, то получим

Page 50

3.6. Преобразование Фурье

• При выводе формулы преобразования предполагалось, что переменная t – вещественная, но подынтегральное выражение преобразования – функция комплексной переменной, так как содержит мнимую единицу i

То есть вещественная функция вещественного аргумента t (времени) преобразуется в комплексную функцию от вещественного аргумента z (частоты). В общем случае можно рассматривать и t и z как комплекс-ные переменные. Тогда преобразования Фурье – это преобразования комплексной плоскости на комплексную плоскость.

Page 51

3.7. Синус- и косинус-преобразования

• Однако для некоторых вещественных функций x(t) их Фурье-образ X(z) – тоже вещественная функция.
• При выводе преобразования Фурье применялся интеграл Фурье

Представим cos z(t-u) как косинус разности и получим (*)

Если функция x(u) четная, то во втором интеграле функ- ция x(u) sin(zu) нечетная по u интеграл по du на симмет-ричном отрезке от нее будет равен нулю. Поэтому для четной функции x(u) второе слагаемое обращается в нуль.

Page 52

3.7. Синус- и косинус-преобразования

Для четной функций x(t)

Они называются соответственно прямым и обратным косинус-преобразованием. Косинус-преобразование переводит вещественную функцию в вещественную.

Page 53

3.7. Синус- и косинус-преобразования

Преобразование Фурье от четной функций x(t) равно:

• Функция x(t) sin(zt) – нечетная и поэтому второй интеграл равен нулю.

3.7. Синус- и косинус-преобразования

• Тогда для четной функции x(t)

Получен результат : если x(t) - четная функция, то

• То есть преобразование Фурье от четной функции равно косинус-преобразованию от этой функции с коэффициентом

3.7. Синус- и косинус-преобразования

• Косинус-преобразование определяется не только для четной, но и для любой функции. Заметьте, что косинус-преобразование определено только на неотрицательной полуоси, значения функции на отрицательных аргументах не принимаются во внимание.

3.7. Синус- и косинус-преобразования

• Аналогично для нечетной функции x(u) в формуле (*)

Функция x(u) cos(zu) четная и интеграл от нее обращается в нуль, потому что пределы интегрирования –А , +А. Тогда из равенства

получаем прямое и обратное синус-преобразование

• Синус-преобразование переводит вещественную функцию в вещественную.

3.7. Синус- и косинус-преобразования

• Если функция x(t) нечетная, то :

• так как первый интеграл обращается в нуль.
• То есть, преобразование Фурье от нечетной функции равно синус-преобразованию от этой функции с множителем

3.7. Синус- и косинус-преобразования

• Любую вещественную функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функции. Это известно из курса высшей математики:
• Пусть x(t) - вещественная функция, определенная на всей оси абцисс. Положим

тогда g(t) – четная функция, h(t) – нечетная функция и

3.7. Синус- и косинус-преобразования