Мы рассматриваем физические явления, зависящий от времени t . Наблюдая явление, мы получаем некоторые числовые данные. Эти наборы данных могут быть детерминированными или случайными. Если, например, на нити раскачивается шарик, то его положение в любой момент времени t вполне определено, его можно описать уравнением колебания и по соответствующей формуле достаточно точно предсказать положение шарика в любой разумный момент времени t. Это детерминированная величина.
Page 3
3
7.1. Случайные величины и их характеристики
Существуют явления, исход которых нельзя точно оценить, их числовые параметры нельзя точно предсказать, они не описываются аналитическими формулами или правилами, по которым можно предсказать их значение.
Например, количество осадков, которое выпадет завтра. Это недетерминированные (случайные, стохастические) величины. С некоторой погрешностью их можно рассматривать как детерминированные, но применение теории вероятностей (или в зависимости от сути задачи математической статистики) позволяет оценить ошибку их предсказания (риск), которая является числом или случайной величиной.
4
7.1. Случайные величины и их характеристики
Случайные величины изучает теория вероятностей и математическая статистика. Различие теории вероятностей и математической статистики состоит в том, что в теории вероятностей случайные величины считаются заданными, например, своими функциями распределения, а математическая статистика на основе экспериментальных данных строит оценки параметров случайных величин. Так, математическое ожидание в теории вероятностей – это число. В математической статистике применяется оценка математического ожидания – это случайная величина, зависящая от данных, полученных в конкретном эксперименте.
Page 5
5
7.1. Случайные величины и их характеристики
В теории вероятностей исходное понятие – пространство случайных событий Ω с элементами ω . Элементы ω и их совокупности образуют случайные события. На случайных событиях задается их мера, вес, который называется вероятностью.
Кроме вероятности, случайные события (элементы множества Ω и совокупности этих элементов) могут иметь детерминированную числовую оценку. Это, например, может быть выигрыш или проигрыш в рублях в зависимости от случайной раздачи карт.
То есть, полученное при раздаче множество карт имеет и вероятность и число (выигрыш), соответствующее множеству и вероятности.
Page 6
6
7.1. Случайные величины и их характеристики
Такая числовая оценка является детерминированной, но определена она на случайных событиях. Эта числовая оценка называется случайной величиной. Если пространство Ω конечное, то такие числовые значения можно перечислить и указать их вероятности – это дискретная случайная величина.
В математике пространство Ω может иметь бесконечное количество элементов, тогда перечислить все оценки нельзя и для их описания вводятся две функции: функция распределения и функция плотности распределения.
Page 7
7
7.1. Случайные величины и их характеристики
Случайная величина задается этими двумя (достаточно одной, любой из них) функциями. Если обозначить через X(ω) случайную величину, определенную на пространстве Ω, то функция распределения FX(x) определяется как
функция плотности распределения pX(x) как
если производная существует. Если ввести в рассмотре-ние обобщенные функции, в частности δ-функцию и фун-кцию Хевисайда, то функция плотности распределения существуют и для дискретной случайной величины (с.в.).
где n – число степеней свободы. Найти вероятность того, что значение случайной величины X(ω) меньше, чем 5.
Это распределение широко применяется в статистике, например, для построения интервальных оценок параметров,
Page 9
9
7.1. Случайные величины и их характеристики
для проверки гипотез, например, о том, что параметр случайной величины не превышает фиксированного значения a. Если вывод делается на основе выборки объема m, то число степеней свободы n = m – 1.
Вероятность попадания случайной величины X(ω) в интервал [x0, x1] вычисляется по формуле
Для нашего примера
Page 10
10
7.1. Случайные величины и их характеристики
Вычисляя интеграл, например, для параметра n = 8 приближенно методом прямоугольников, получаем
График p(x) для n = 8
Page 11
11
7.1. Случайные величины и их характеристики
Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины X(ω) - это математическое ожидание
дисперсия
и среднеквадратическое отклонение
Для простоты будем обозначать эти характеристики mX, DX, σX, или просто m, D, σ (это числа!).
Page 12
12
7.1. Случайные величины и их характеристики
Важнейшим в приложениях является нормальное распределение, которое
