Случайные процессы. Случайные величины и их характеристики

7. Случайные процессы

1

1

7. Случайные процессы

• 7.1. Случайные величины и их характеристики.
• 7.2. Случайные процессы.
• 7.3. Случайное блуждание.
• 7.4. Гауссовский случайный процесс.
• 7.5. Стационарные случайные процесс.
• 7.6. Реализация случайного процесса.
• 7.7. Случайный телеграфный сигнал.

Page 2

2

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Мы рассматриваем физические явления, зависящий от времени t . Наблюдая явление, мы получаем некоторые числовые данные. Эти наборы данных могут быть детерминированными или случайными. Если, например, на нити раскачивается шарик, то его положение в любой момент времени t вполне определено, его можно описать уравнением колебания и по соответствующей формуле достаточно точно предсказать положение шарика в любой разумный момент времени t. Это детерминированная величина.

Page 3

3

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Существуют явления, исход которых нельзя точно оценить, их числовые параметры нельзя точно предсказать, они не описываются аналитическими формулами или правилами, по которым можно предсказать их значение.
• Например, количество осадков, которое выпадет завтра. Это недетерминированные (случайные, стохастические) величины. С некоторой погрешностью их можно рассматривать как детерминированные, но применение теории вероятностей (или в зависимости от сути задачи математической статистики) позволяет оценить ошибку их предсказания (риск), которая является числом или случайной величиной.

4

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Случайные величины изучает теория вероятностей и математическая статистика. Различие теории вероятностей и математической статистики состоит в том, что в теории вероятностей случайные величины считаются заданными, например, своими функциями распределения, а математическая статистика на основе экспериментальных данных строит оценки параметров случайных величин. Так, математическое ожидание в теории вероятностей – это число. В математической статистике применяется оценка математического ожидания – это случайная величина, зависящая от данных, полученных в конкретном эксперименте.

Page 5

5

7.1. Случайные величины и их характеристики

• В теории вероятностей исходное понятие – пространство случайных событий Ω с элементами ω . Элементы ω и их совокупности образуют случайные события. На случайных событиях задается их мера, вес, который называется вероятностью.
• Кроме вероятности, случайные события (элементы множества Ω и совокупности этих элементов) могут иметь детерминированную числовую оценку. Это, например, может быть выигрыш или проигрыш в рублях в зависимости от случайной раздачи карт.
• То есть, полученное при раздаче множество карт имеет и вероятность и число (выигрыш), соответствующее множеству и вероятности.

Page 6

6

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Такая числовая оценка является детерминированной, но определена она на случайных событиях. Эта числовая оценка называется случайной величиной. Если пространство Ω конечное, то такие числовые значения можно перечислить и указать их вероятности – это дискретная случайная величина.
• В математике пространство Ω может иметь бесконечное количество элементов, тогда перечислить все оценки нельзя и для их описания вводятся две функции: функция распределения и функция плотности распределения.

Page 7

7

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Случайная величина задается этими двумя (достаточно одной, любой из них) функциями. Если обозначить через X(ω) случайную величину, определенную на пространстве Ω, то функция распределения FX(x) определяется как
• функция плотности распределения pX(x) как
• если производная существует. Если ввести в рассмотре-ние обобщенные функции, в частности δ-функцию и фун-кцию Хевисайда, то функция плотности распределения существуют и для дискретной случайной величины (с.в.).

Page 8

8

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Пример. Распределение χ2. Функция плотности распределения положительной случайной величины X(ω) задается формулой
• где n – число степеней свободы. Найти вероятность того, что значение случайной величины X(ω) меньше, чем 5.
• Это распределение широко применяется в статистике, например, для построения интервальных оценок параметров,

Page 9

9

7.1. Случайные величины и их характеристики

• для проверки гипотез, например, о том, что параметр случайной величины не превышает фиксированного значения a. Если вывод делается на основе выборки объема m, то число степеней свободы n = m – 1.
• Вероятность попадания случайной величины X(ω) в интервал [x0, x1] вычисляется по формуле
• Для нашего примера

Page 10

10

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Вычисляя интеграл, например, для параметра n = 8 приближенно методом прямоугольников, получаем

• График p(x) для n = 8

Page 11

11

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины X(ω) - это математическое ожидание
• дисперсия

• и среднеквадратическое отклонение
• Для простоты будем обозначать эти характеристики mX, DX, σX, или просто m, D, σ (это числа!).

Page 12

12

7.1. Случайные величины и их характеристики

• Важнейшим в приложениях является нормальное распределение, которое