- Процесс случайного блуждания не эргодический, так как он нестационарный.
-
Пример. Телеграфный сигнал – эргодический процесс, так как
-
1) он стационарный,
-
2) для него выполняется условие Слуцкого
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/9.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/10.png)
Page 8
8.1. Эргодические случайные процессы
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/11.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/12.png)
-
Так как α > 0 , то выражение в скобках при T→∞ стремится к 1, а множитель перед скобкой стремится к 0 ,
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/13.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/14.png)
Page 9
8.1. Эргодические случайные процессы
-
Пример. Гауссовский некоррелированный процесс X(t) (то есть случайными величинами X(t1) и X(t2) некоррели-рованы) эргодический, так как он
-
1) стационарный,
-
2) выполняется условие Слуцкого
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/15.jpg)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/16.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/17.jpg)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/18.jpg)
Page 10
8.2. Свойства функции автоковариации
1. Функция автоковариации не изменяется при перестановке аргументов:
RXX(t1, t2) = RXX(t2, t1) . Эти следует из равенства
2. При умножении случайного процесса X(t) на постоянное значение с значения функции автоковариации увеличи-ваются в с2 раз.
3. При умножении случайного процесса X(t) на неслучайную функцию f(t) автоковариация увеличивается в f(t1) f(t2) раз.
4. Функция автоковариации стационарного процесса зависит только от разности времени τ= t2 - t1:
RXX(t1, t2) = RXX(t, t+τ) = RXX(τ).
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/19.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/20.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/21.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/22.png)
Page 11
8.2. Свойства функции автоковариации
Это следует из того, что в стационарном процессе для любого момента времени t совместные распределения от аргументов t, t+τ совпадают. Ввиду этого свойства функция автоковариации стационарного процесса записывается в виде RXX(τ).
5. Для стационарного процесса RXX(0) ≥ RXX(τ).
Это следует из того, что математическое ожидание неотрицательной величины
Добавим в скобки +m и –m , обозначим , тогда ввиду неотрицательности мат ожидания неотрица-тельной величины
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/23.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/24.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/25.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/26.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/27.png)
Page 12
8.2. Свойства функции автоковариации
Отсюда
Но процесс X(t) стационарный, поэтому
(дисперсия стационарного процесса не зависит от момента времени t). Тогда
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/28.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/29.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/30.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/31.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/32.png)
Это свойство подтверждает ясный по смыслу факт, что наибольшая взаимосвязь в стационарном сигнале наблюдается при t1 = t2, (τ=0) это очевидно, так как со временем зависимость сигнала от того, что было в прошлом ослабевает.
Page 13
8.2. Свойства функции автоковариации
График автоковариации телеграфного сигнала для α=1, τ ϵ[-∞, +∞], автоковариация RXX(τ) = exp(-2α | τ |) (функция автоковариации четная для любого стационарного процесса) .
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/33.png)
Процесс называется некоррелированным, если при t1 ≠ t2 его функция автоковариации RXX(t1 ,t2) = 0 .
Page 14
8.2. Свойства функции автоковариации
-
Некоррелированный и коррелированный процессы.
-
Ансамбли из 5 реализаций некоррелированного и коррелированного процессов.
-
На рисунке приведены примеры реализаций двух случайных процессов, которые имеют одно и то же математическое ожидание и дисперсию для случайных величин X(t) с фиксированным временем t.
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/34.png)
Page 15
8.2. Свойства функции автоковариации
-
Пространство состояний (значения) обоих процессов практически одно и то же, но динамика развития процессов в реализациях существенно различается.
-
Единичные реализации коррелированных процессов в произвольный момент времени t могут быть такими же случайными, как и некоррелированных, во всех сечениях оба процесса могут иметь один и тот же закон распределения случайных величин.
-
Однако динамика развития по времени t единичной реализации коррелированного процесса по сравнению с некоррелированным является более плавной, в коррелированном процессе имеется некоторая связь между последовательными значениями случайных величин, то есть величины в различные моменты времени взаимосвязаны.
Page 16
8.2. Свойства функции автоковариации
-
Оценку степени зависимости случайных величин X(t1) и X(t2) (мгновенные значений процесса X(t) ) в произвольные моменты времени t1 и t2 выполняет функция автоковариации RXX (t1,t2 ).
Page 17
8.3. Спектральная функции мощности
-
Случайный процесс X(t) - это совокупность случайных величин, зависящих от времени t.
-
Стационарные случайные процессы аналогично вещест-венным функциям, которые разлагаются в ряд Тейлора, допускают разложение в другие (обычно более простые) случайные процессы, в том числе и ортогональные – это упрощает разложение.
-
При анализе случайного сигнала часто используются моменты второго порядка – автоковариационную и автокорреляционную функции и их Фурье-образы.
-
Автокорреляционной функцией случайного процесса X(t) называется
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/36.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/37.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/38.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/39.png)
Page 18
8.3. Спектральная функции мощности
-
Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса зависит от разности и записывается в виде
-
Автокорреляционная функция сохраняет все свойства автоковариационной функции, в частности, она четная,
-
Автокорреляционная функция стационарного процесса отличается от автоковариационной функции на посто-янную величину: (только для стационарного процесса).
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/40.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/41.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/42.png)
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/43.png)
-
Автокорреляционная и автоковариационная функции – это детерминированные функции вещественного аргумента со значениями в вещественной области.
Page 19
8.3. Спектральная функции мощности
-
К этим функциям можно применить преобразование Фурье Фурье-образ автокорреляционной функции позволяет оценить энергию случайного сигнала в частотном диапа-зоне. Для автоковариационной функции RXX(τ) положим
![](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/79/images/44.png)
-
Для автокорреляционной функции KXX(τ) преобразование Фурье имеет