Но собственно теория подобия не дает количественной зависимости между числами подобия. Она только позволяет уста-новить качественную зависимость типа К1 = ¦ ( К2 , К3 , …), где Кi – числа подобия. Из них К1 – определяемое число, содержащее зависимые переменные; К2 , К3 , …- определяющие числа, содержащие независимые переменные, входящие в условия одноз-начности.
Количественные зависимости между числами подобия нахо-дят по экспериментальным данным или по данным математичес-кого моделирования, используя методы математической статистики.
Необходимо иметь в виду, что обобщенные расчетные решения (уравнения подобия) применимы лишь в тех пределах изменения определяющих чисел подобия, которые имели место в экспериментах. В справочной литературе такие пределы указыва-ют для каждого уравнения.
ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОДОБИЯ
Качественная функциональная зависимость между числами подобия мжет быть получена путем преобразования системы ис-ходных уравнений любого типа. Достоинство метода подобия в том, что для получения такой зависимости можно использовать дифференциальные уравнения, которые мы часто не можем про-интегрировать без упрощающих допущений. При этом зависи-мость имеет такой же вид, как и при преобразовании проинтег-рированных уравнений.
Преобразование уравнений заключается в их приведении к безразмерному виду. Это преобразование осуществляется либо с помощью метода масштабных преобразований, либо с помощью анализа размерностей. Воспользуемся вторым, так как суть его довольно проста и не требует дополнительных пояснений.
Для упрощения примем, что скорость и температура в потоке среды меняются только по x и y, а плотность , теплоем-кость, теплопроводность и динамическая вязкость ее постоянны, внутренние источники и стоки тепла отсутствуют, гидродинамический и температурный режимы стационарны, то есть (¶w/¶t и ¶t/¶t равны нулю). Тогда, поделив уравнения дви-жения на плотность g и учитывая, что m/g=n, получим из (16) – (18) и (20) систему уравнений в виде
Преобразование первых двух уравнений одинаково, поэтому, для сокращения записи, преобразуем только одно из них, опустив индексы х и у.
Проще всего в безразмерный вид перевести геометрические величины х и у. Возьмем в качестве масштаба какой-либо харак-терный размер l рассматриваемой системы и с помощью его и безразмерного множителя выразим все отальные, например, х = l ×Х, у = l ×Y. Для скорости в качестве масштаба примем ее значение на входе в систему wн , а для температуры - темпратуру стенки t с . Тогда w = w н W, t = t сT . Учитывая, что l , wн , t c - константы и могут быть выведены из-под знаков диф-ференциала, получим
Уравнение движения умножим на l и разделим на wн2 . В правой части получим комплексы g l / wн2 , 1/g wн2 , n/ l wн , из которых первый и последний – безразмернве, а средний – размерный. Но если его ввести под знак дифференциала при давлении р, то под этим знаком будет безразмерный комплекс p/g wн2 . Обозначения и названия этих комплексов следующие:
(g l /wн2) = Fr – число Фруда , (p /g wн2) = Eu – число Эйлера ,
(wн l/n) = Re – число Рейнольдса.
Теперь уравнение движения запишется как
Из этого уравнения видно, что поле скоростей будет описываться уравнением качественной связи W = ¦1 ( Fr, Eu, Re, X, Y). (21)
Уравнение сплошности безразмерных комплексов не дает, хотя само и получается безразмерным: wн / l ¹ 0, поэтому
Уравнение энергии можно сократить на t с. И если обе его части умножить на l2/a, то в левой части получится безразмер-ный комплекс (w н l /a) = Pe – число Пекле. И тогда
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.