Методы изучения процессов тепло- и массопереноса. Теплообмен излучением. Излучение и поглощение реальных тел, страница 26

                              dQ_x0 = - l(¶t/¶x) dl _z dl _y .

Теперь,  если  воспользуемся  разложением  функции в  ряд  Макло-рена (частным  вариантом  ряда  Тейлора), то  получим

              dQ_x1= dQ_x0 + [ (dQ_x0)¢(-dl _x/2)/1!] + [(dQ_x0)²(-dl _x/2)²/2!] +

+[ (dQ_x0)²¢(-dl_x/2)³/3!] + - - -;

              dQ_x2 = dQ_x0 +[ (dQ_x0)¢( dl _x/2)/1! ] + [(dQ_x0)²(dl _x/2)/2! ] +

                                    +[(dQ_x0)²¢(dl _x/2)³/3!] + - - -

Ограничиваясь  производными  первого  порядка  и  подставляя  вы-шеприведенное  выражение  для  dQ_х0 ,  получим

                    dQ_x =  

Таким  же  образом,  рассматривая  тепловые  потоки  через  сечения,  перпендикулярные  осям  y  и  z ,  найдем

                   dQ_y =  

Общее  приращение  количества  тепла  в  объеме  dV  за  время  dt

  dQ_т = (dQ_x + dQ_y + dQ_z )dt =  

Это  же  самое  приращение  тепла  выразим  через  изменение  темпе-ратуры  объема  dV  за  промежуток  времени  dt:

                                         dQ_т =  dV×g×c dt.

Если  приравнять  правые  части  двух  выражений  для  dQ_т ,  сокра-тить  их  на  dV  и  разделить  на  dt ,  то

                                                 (19)

Здесь  (dt/dt) – полная  производная  функции  нескольких  перемен-

                    ных,  поскольку  t = f (x, y, z).

Через  частные  производные  она,  в  данном  случае,  выразится   сле-дующим  образом:

Здесь  dx,  dy,  dz -   приращения  координат  центральной   точки   объема  dV  за  время  dt .  Отношения  этих  приращений  к  отрезку  времени  есть  не  что  иное  как  проекции  скорости  движения   объ-ема  dV  на  оси  координат:

                    (dx/dt) = W_x ,   (dy/dt) = W_y ,     (dz/dt) = W_z .

Если  теперь  сделать  подстановки  в  (19),  то  получим  уравнение  энергии

Оно  справедливо  при  постоянном  давлении (с = с_p)  и  при  отсутствии  источников  и  стоков  тепла  в  объеме  среды.  Если  та-ковые  будут,  то  в  правой  части  уравнения  добавится  ±q_v – объем-ная  тепловая  мощность  Вт/м³ .

          Если  g,  с  и  l  не  зависят  от  температуры,  то  уравнение  (  с  источниками  или  стоками  тепла)  записывают  в  виде

                              (20)

Здесь   а = l/g с – коэффициент  температуропроводности  среды , м²/с.

          Локальная  составляющая  субстанциональной  производной   ¶t/¶t  соответствует  нестационарному  температурному  полю.  При  стационарном  температурном  поле  она  равна  нулю.

          Конвективная  составляющая  соответствует  изменению  темпе-ратуры  при  перемещении  объема  среды  в  пространстве.

УСЛОВИЯ  ОДНОЗНАЧНОСТИ  ДЛЯ  КОНВЕКТИВНОГО  ТЕПЛООБМЕНА

          Уравнения движения,  сплошности,  теплообмена  и  энергии  выведены  на  основании  законов  сохранения  материи  и  энергии,  справедливых  в  любом  случае.  Естественно,  что  таких  случаев  может  быть  бессчетно  много.  Чтобы  из  этого  множества  выделить  определенный  класс  процесов,  к  урвнениям  необходимо  добавить  условия  однозначности:

          1) геометрические  условия,  определяющие  форму  объема,  в  котором  происходит  конвективный   теплообмен.  Они  учитываются записью  вышеупомянутых  уравнений  в  определенной  системе  ко-ординат;

          2) физические  условия,  определяющие  значения  и  зависимос-ти  теплофизических  характеристик  среды  от  температуры  и  давления.  Они  учитываются  записью  дополнительных  уравнений  и  формул;

          3) временные  условия,  определяющие  изменение  скорости,  давления  и  других  параметров  среды  во  времени.  Учитываются также  записью  дополнительных  уравнений  и  формул;

          4) краевые  условия,  включающие  условия  начальные  и  гра-ничные.  Начальные  условия  определяют  поля  температуры,  давле-ния  и  скорости  среды  в  начальный  момент  времени.  Учитываются  записью  уравнений  соответствующих  полей  на  начало  процесса.  Граничные  условия  определяют  значения  температуры,  скорости  и  давления  на   поверхностях,  ограничивающих  объем  среды,  а  также  на  входе  в  этот  объем  или  на  бесконечном  удалении  от  поверхностей,  если  пространство  не  ограничено.  Может  быть  задана  и  плотность  теплового  потока  на  ограничивающей  поверхности.