Определители. Перестановки и их четность. Теорема о разложении определителя по элементам ряда

Курс: Алгебра и геометрия

Лекция 2

Определители

План

1.  Перестановки и их четность.

2.  Подстановки и их четность

3. Определение определителя.

4. Свойства определителей.

5. Теорема о разложении определителя по элементам ряда.

6. Вычисление определителей.

7. Правило Крамера.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 7-22.

2. Общий курс высшей математики. М.:  Инфра - М, 2000. с. 72-87

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 16-26.

4. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 148-156.

       1. Перестановки подстановки и их четность.

Определение 1. Перестановкой из n различных элементов  или n - перестановкой называется любое упорядоченное расположение этих элементов. Обозначаем n - перестановки символом   , где

 различные элементы n-элементного множества  M.

Теорема 1.Число всех перестановок из  n различных элементов равно .

Доказательство.  В перестановке  элемент     из множества M можно выбрать n  различными способами. Элемент   из оставшихся элементов можно выбрать  n-1 способами, элемент  -  n-2 способами и т.д. . Наконец элемент  можно выбрать одним способом. Тогда по правилу произведения  перестановку  можно составить   способами. Теорем доказана.

В дальнейшем рассматриваем n - перестановки  из элементов множества .

Определение 2. Говорят, что элементы  i  и  j  в перестановке  образуют инверсию (беспорядок), если  и i  стоит впереди  j .

Число всех инверсий в перестановок   обозначаем символом  .

Определение 3. Перестановка называется четной, если число всех инверсий в перестановке четное, перестановка называется нечетной, если число всех инверсий в перестановке нечетное.

Пример 1. В перестановке  =(1,5,4,2,3) элементы  5 и 4 , 5 и 2, 5 и 3, 4 и 2, 4 и 3 образуют инверсии. Поэтому  и перестановка  нечетная.

    Пример 2. Для n=2 имеется две перестановки:При этом перестановка  (1,2) - четная, а перестановка  (2,1) нечетная.  

Пример 3. Для n=2 имеется 6 перестановок. При этом три    перестановки  (1,2,3), (3,1,2), (2,3,1) четные и три перестановки (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1)  нечетные.

Определение 4. Транспозицией перестановки называется такое ее преобразование при, при котором два ее элемента переставляются местами, а остальные остаются на своих местах.

Теорема 2. При любой транспозиции перестановки ее четность меняется на противоположную.

Доказательство.  Рассмотрим два случая.

1. Производится транспозиция соседних элементов i  и  j . Пусть исходная перестановка , а полученная перестановка , где точками обозначены все остальные совпадающие элементы. Число инверсий, которые образуют эти элементы между собой и с элементами i  и  j  , в подстановках   и , совпадает, так как положение этих элементов между собой и относительно элементов i  и  j  в подстановках  и  не изменилось. Если  i>j  то в перестановке    i  и  j  образуют инверсию, а в перестановке  не образуют. Если  i<j  то в перестановке    i  и  j  не образуют инверсию, а в перестановке  образуют. Таким образом число инверсий в перестановках    и  отличается на единицу, и перестановки имеют противоположную четность.

2. Производится транспозиция элементов i  и j , которые разделены m элементами перестановки. Пусть   исходная,   полученная перестановки:

, , где точками обозначены  все остальные совпадающие элементы подстановок. Перейдем от перестановки   к перестановке  при помощи  транспозиций соседних элементов. Сначала переставим элементы  i  и   местами, затем поменяем местами элементы i и , и т.д. сделав m транспозиций соседних элементов, перейдем к перестановке:

Затем переставим элементы i и j,  и j, и т.д. сделав еще m+1 транспозиций соседних элементов перейдем к перестановке  . Таким образом от перестановки   к перестановке  при помощи  2m+1 транспозиций соседних элементов. Так как каждая такая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную, то перестановки   и  имеют противоположную четность. Теорема доказана.

Теорема 3. Для любого числа n>1 число всех четных n-перестановок равно числу всех нечетных перестановок.

Доказательство. Пусть  и  соответственно число всех четных и нечетных перестановок. Пусть   любая из  четных перестановка. Проводя в них транспозиции первых двух элементов  , получим  различных нечетных перестановок. Так как всего нечетных перестановок  , то  . Проводя аналогичное рассуждение с нечетными перестановками получим . Из этих двух неравенств следует, что =. Теорема доказана.

Следствие. При n>1 число всех четных перестановок равно .

2. Подстановки. Определение 5. Подстановкой n-й степени называется взаимно однозначное отображение множества  самого на себя. Обычно подстановку записывают с помощью двух n-перестановок, записанных одна под другой:

,                                                      (1) где через  обозначается число, в которое при подстановке  переходит элемент i,  т.е. ; i=1,2,...,n.

В записи подстановки можно произвольным образом менять столбцы местами. Например, все три указанные ниже подстановки равны. 

.                                   (2)

В частности всякая  подстановка n-й степени может быть записана в виде:

.

При такой форме записи различные подстановки различаются только перестановками, стоящими в нижней строке. Тогда в силу теоремы 1 получили следующее утверждение.