Линейные операторы в евклидовых пространствах

220400                   Алгебра и геометрия                    Толстиков А.В.

Лекции 15. Линейные операторы в евклидовых пространствах

План

1.  Сопряженные операторы евклидовых пространствах и их свойства.

2.  Самосопряженные операторы.

3.  Ортогональные матрицы и их свойства.

4.  Ортогональные операторы и их свойства.

Рекомендуемая литература

1.  Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2.  Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3.  Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4.  Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5.  Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

6.  Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

1.  Сопряженные операторы евклидовых пространствах и их свойства. Пусть E - евклидово пространство над полем действительных чисел R, на котором определено скалярное произведение векторов (a,b), a, b ÎE.

Определение 1. Линейный оператор A^* евклидова пространства E называется сопряженным линейному оператору A^* пространства E, если для любых векторов a, b ÎE выполняется условие:

(Aa,b) = (a, A^*b).                                                                                              (1)

Лемма 1.  Если произведение данной строки U на любой столбец Y равно нулю, то строка U нулевая. Если произведение любой строки X ^t на данную столбец U равно нулю, то столбец  нулевой.

Доказательство. Пусть U = (u₁, u₂,…, u_n), Y = (y₁, y₂,…, y_n)^t. По условию теоремы для любых чисел y₁, y₂,…, y_n    U Y = (u₁, u₂,…, u_n)(y₁, y₂,…, y_n)^t = u₁y₁+ u₂y₂+…+ u_n y_n=0. Если все числа y₁, y₂,…, y_n равны 0, кроме y_j, которое =1, то отсюда получаем, что u_j (i = 1,2,…,n). Поэтому U =0. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. 

Теорема 1.  Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) -  базис евклидова пространства E, A - матрица линейного оператора A относительно базиса v, G = (g_ij) - матрица Грама базиса v. Если для линейного оператора A существует сопряженный оператор A^*, то выполняется равенство

A^t G = G A^*.                                                                                      (2)

Доказательство. Пусть X и Y координатные столбцы векторов a, b ÎE относительно базиса v, A и A^* матрицы линейных операторов A и A^* относительно базиса v. Тогда

(Aa, b) =(v(AX), vY) = (AX) ^t GY , (a, A^*b) = X ^t G A^*Y.                                              (3)

Отсюда по формуле (1) получим равенство (AX)^t GY = X ^t G A^*Y, справедливое для любых вектор столбцов X и Y. Так как векторы a, b произвольные, то по лемме 1 получаем  A^t G = G A^*.

Теорема 2.  Если базис v = (v₁, v₂,…, v_n) евклидова пространства E ортонормированный, то матрица A^* сопряженного линейного оператора A^* является транспонированной к матрице A оператора A;

A^t  =  A^*.                                                                                          (4)

Доказательство. Так как матрица Грамма ортонормированного базиса единичная, G = E, то (4) следует из (2). 

Следствие 1. Для любого оператора A справедливо равенство (A^* )^* = A.

Доказательство. По формуле (4) для матриц линейных операторов (A^* )^* и A в ортонормированном базисе имеем (A^* )^* = (A ^t )^t  = A. Поэтому (A^* )^* = A.

Следствие 2. Для любых оператора A, B справедливо равенство (AB )^* = B ^* A^*.

Доказательство. По формуле (4) для матриц линейных операторов A, B и A^*, B ^* в ортонормированном базисе имеем (AB )^* = (AB )^t  = B ^t A ^t  = B ^*A^*. Поэтому (AB )^* = B ^* A^*.

Следствие 3. Собственные значения линейных операторов A и A^* совпадают.

Доказательство. Так как характеристические многочлены матриц и совпадают, то собственные значения линейных операторов , которые являются корнями характеристического уравнения совпадают. 

Теорема 3. Для любого линейного оператора A евклидова пространства E существует единственный сопряженный линейный оператор A^*.

Доказательство. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - линейный оператор с матрицей A  относительно базиса v.  Рассмотрим в E линейный оператор B с матрицей A^t относительно данного базиса. Оператор B существует и единственный. Правые части равенств (3) равны: (AX)^t GY  = X ^t G A^*Y.  Поэтому равны и левые (Aa, b) = (a, Bb). Поэтому оператор B - сопряженный для оператора A. 

2. Самосопряженные операторы.

Определение 1. Линейный оператор A евклидова пространства E называется самосопряженным или симметричным, если A =  A^*, т.е. для любых векторов двух a, b ÎE выполняется условие:

(Aa, b) = (a, Ab).                                                                               (1)

Теорема 1. Линейный оператор A евклидова пространства E  самосопряжен тогда и только, когда матрица A линейного оператора A в ортогональном базисе симметрическая матрица,  т. е. A = A^*.