Линейные операторы в евклидовых пространствах, страница 3

3)  Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - l.E)X=0.

4)  Ортонормируем, полученный базис.

Пример. Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве Е₃, имеет в ортонормированном  базисе e₁, e₂, e₃ матрицу

.

Найти в Е₃ ортонормированный базис из собственных векторов оператора A и составить матрицу оператора A в этом базисе.

Решение. 1) Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A - l.E| = 0.

2)  Найдем все корни характеристического уравнения: l₁=-1, l₂ = l₃ = 1. Тогда матрица линейного оператора в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов имеет вид

.

3)  Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - l.E)X=0.

Пусть l₁=-1. Матричное уравнение  (A - l₁E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение x = c(1,-2,1),  cÎR.

Пусть l₂ = l₃ = 1. Матричное уравнение  (A - l₁E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение x = c₁(2,1,0) + c₂(-1,0,1),  cÎR.

4)  Ортонормируем, полученный базис.

a₁ = (1,-2,1), a₂ = (2,1,0), a₃ =(-1,0,1).

b₁ = (1,-2,1), b₂ = (2,1,0), b₃ = a₃ + k b₂,  , b₃ =(-1/5, 2/5, 1/5).

.

3. Ортогональные матрицыи их свойства.

Определение 1.  Матрица A называется ортогональной матрицей, если обратная ей матрица A^-1 совпадает с матрицей A.

Определение 1 равносильно матричному равенству

A^t A =E.                                                                                          (1)

Свойство 1. Если A ортогональная матрица, то A^t A=E, A^t A=E ,т.е.

Доказательство. Свойство следует из определения 1, и определений произведения и равенства матриц. 

Свойство 2. Если A ортогональная матрица, то det A =±1

Доказательство. Переходя в равенстве (1) к определителям получим | A |²=| A^t A | =|E| = 1, | A |= ±1 . 

Теорема 1. Пусть T матрица перехода от ортонормированного базиса v= (v₁, v₂,…, v_n) к базису u евклидова пространства. Базис u  ортонормирован тогда и только тогда, когда матрица Т ортогональна.

Доказательство. 1. Пусть u = (u₁, u₂,…, u_n) ортонормированный базис. Рассмотрим матрицу Грама базисов. G = G(v₁, v₂,…, v_n), G' = G(u₁, u₂,…, u_n). Известна формула

G' = T^t G T.                                                                                      (2)

Так  матрица Грама ортонормированного базиса единичная, то указанного равенства получаем T^t T =E. Поэтому матрица ортогональна.

2. Обратно. Пусть матрица T ортогональна. Так как матрица G - единичная, то из равенства (2) получим, что матрица G' единичная. Тогда базис u - ортонормированный.

4. Ортогональные операторы и их свойства.

Определение 1.  Линейный оператор A евклидова пространства E называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т.е. для любых a, b ÎE  (Aa, Ab) = (a, b).                                                                               

Свойство 1. Ортогональные операторы не меняют норму векторов, т.е. |Aa| = |a|.

Доказательство. |Aa| =  . 

Свойство 2. Ортогональные операторы не меняют косинусы углов между векторами.

Доказательство. 

Свойство 3. Ортогональные операторы не меняют ортогональность векторов.

Доказательство.Если векторы a, b ортогональны, то (a, b)=0. По свойству 1 получим (Aa, Ab) = (a, b) = 0. Тогда векторы Aa, Ab ортогональны. 

Свойство 4. Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Доказательство. Пусть e = (e₁, e₂,…, e_n) - ортонормированный базис. Тогда (Ae_i, Ae_j) = (e_i, e_j) = 1, если i=j, =0, если i¹j. Тогда базис (Ae₁, Ae₂,…, Ae_n) - ортонормированный базис. 

Свойство 5. Ортогонального оператора A имеет обратный оператор A^-1, и  A^-1 = A^* .

Доказательство. Имеем по определению ортогонального и сопряженного операторов (Aa, Ab) = (a, A^*Ab) = (a, b). Отсюда получим (a, (A^*Ab)- b) = 0. Отсюда получим, что вектор (A^*Ab)- b ортогонален любому вектору a пространства и поэтому равен нулевому вектору. Тогда (A^*Ab) = b, и это равенство выполняется для любого b ÎE.Тогда оператор A^*A тождественный. 

Свойство 6. В ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора является ортогональной матрицей.

Доказательство. По выше доказанному A^*A -тождественный оператор. Если A,  A^* матрицы линейных операторов A, A^*, то получим A^*A = E. Отсюда матрица A ортогональная. 

Свойство 7. Собственные значения ортогонального оператора по модулю равны 1.

Доказательство. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - матрица оператора  A в базисе v. Пусть l₀ - корень характеристического уравнения |A - lE| = 0. Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений c n неизвестными, записанную в матричной форме:

(A - l₀E)X = 0, где X  - столбец неизвестных. Поскольку определитель системы равен нулю, то эта система имеет ненулевое решение X₀. Из равенства (A - l₀E)X₀ = 0 следует A X₀ = l₀X₀,  Перемножая полученные равенства, находим

Так как A^t A =E и , то  .