Линейные операторы в евклидовых пространствах, страница 2

Доказательство. По определению, оператор A самосопряжен тогда и только тогда, когда A =  A^*. 

Линейные операторы A, A^* однозначно определяются своими матрицами A и A^*.  Тогда оператор A самосопряжен тогда и только тогда, когда A = A^*.  В силу теоремы 2 в ортонормированном базисе это равносильно условию A = A^t, т.е. симметричности матрицы A. 

Теорема 2. Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора A - действительные числа и поэтому  являются собственными значениями линейного оператора.

Доказательство. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - матрица самосопряженного линейного оператора  A в базисе v. Докажем, что все корни характеристического уравнения |A - lE| = 0 действительные числа. Допустим противное, что характеристический многочлен имеет комплексный корень l₀ÏR. Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений c n неизвестными, записанную в матричной форме:

(A - l₀E)X = 0, где X  - столбец неизвестных. Поскольку определитель системы равен нулю, то эта система имеет ненулевое решение X₀. Подставим в систему и получим (A - l₀E)X₀ = 0. Умножим полученное тождество слева на строку :

.                                                      (2) 

. Покажем, что. Обозначим  При транспонировании квадратная матрица порядка 1 не меняется и мы имеем

С другой стороны, переходя к сопряженным числам, получаем

Так как симметрическая матрица с действительными элементам, то Поэтому и yÎR.  Так как число неравно нулю, то из равенства (2) находим, что l₀ÎR. Получаем противоречие. Следовательно, все корни характеристического уравнения действительные числа.

Следствие 1. Если A - действительная симметрическая матрица, то все корни уравнения |A - lE| = 0 действительные числа.

Доказательство. Матрица A является матрицей самосопряженного линейного оператора  A, корни уравнения |A - lE| = 0 являются собственными значениями оператора A. По теореме 2 они действительные числа.

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Пусть l,m - собственные значения линейного оператора A,l ¹ m . Тогда Ax = lx, Ay = m y. Далее с одной стороны, (Ax, y) =(lx, y) = l(x, y). С другой стороны, (Ax, y) = (x, Ay) = (x,my) = m (x, y). Из этих двух равенств следует l(x, y) = m (x, y), (l - m )(x, y) =0. Так как l ¹ m, то (x, y) = 0.

Определение 2. Подпространство L евклидово пространство E называется инвариантным относительно линейного оператора A, если образ L при отображении A лежит в L, т.е. A(L^{^}) Í L^{^}.

Теорема 4. Если подпространство L  инвариантно относительно самосопряженного оператора A, то и ортогональное дополнение L^{^} инвариантно относительно A.

Доказательство. По определению для любого a Î L, Aa Î L.  Тогда для любого b Î L^{^} имеем (Aa, b) =0. По определению 1 (Aa, b) = (a, Ab). Поэтому (a, Ab) = 0, Ab Î L^{^} и  A(L^{^}) Í L^{^}.

Теорема 5. Пусть A - самосопряженный линейный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве E.  Тогда в E существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A.

Доказательство. Теорему доказываем методом математической индукцией по размерности n. Если n = 1, то каждый вектор собственный в и в качестве требуемого базиса возьмем любой вектор единичной длины из E.

Предположим, что теорема доказана пространств размерности n - 1,и докажем ее для n-мерного пространства E_n. По теореме 2 линейный оператор A имеет хотя бы одно собственное значение l и собственный вектор b. Тогда подпространство Е₁ = L(b) инвариантно относительно оператора A. Обозначим e его единичный вектор. Ортогональное дополнение Е_n-1 подпространства Е₁ имеет размерность n - 1 и инвариантно относительно A.

Рассмотрим сужение A' оператора A на подпространство: A'(a) = A(a), для любого a Î Е_n-1.  Так как свойство самосопряженности (Aa, b) = (a, Ab) выполняется для всех векторов a, b ÎE_n, то оно выполняется и для всех векторов из Е_n-1. Если b Î Е_n-1 - собственный вектор оператора A', то b собственный вектор и оператора A: Ab = A'b = l b.

По индуктивному предположению существует ортонормированный базис e₁, e₂,…, e_n-1 подпространства Е_n-1, состоящий из собственных векторов оператора A'. Рассмотрим систему векторов e₁, e₂,…, e_n-1, e. Все векторы e₁, e₂,…, e_n-1ортогональны: по построению, e ортогонален каждому из них, так как eÎ Е₁, e₁, e₂,…, e_n-1Î Е_n-1 - ортогональному дополнение Е₁.  Длина каждого из этих векторов равна 1. Каждый из них является собственным для оператора A. Следовательно, система векторов ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов оператора A. 

Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.

1)  Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A - l.E| = 0.

2)  Найдем все корни характеристического уравнения.