Определители. Перестановки и их четность. Теорема о разложении определителя по элементам ряда, страница 3

где индексы  образуют некоторую перестановку из чисел 1,2,...,n. Так как по теореме 1 имеется n! перестановок из n элементов, то определитель алгебраическая сумма n! произведений вида (7). Для вычисления знака произведения составим подстановку

и знак произведения (7) будет равен знаку подстановки . Поэтому в символьном виде определитель можно записать так:

,                                      (8)

где суммирование ведется по всем n! подстановкам n-й степени.

Покажем, что определитель 2-го порядка вычисляется по формуле:

.                                                       (9)

Действительно, по определению он равен алгебраической сумме 2!, т.е. 2-х произведений  . Знаки этих произведений равны соответственно знакам подстановок:

 , т.е. 1 и -1, что совпадает с их знаками в формуле (9).

Покажем, что определитель 3-го порядка вычисляется по формуле:

.      (10)

Действительно, по определению он равен алгебраической сумме 3!, т.е. 6-ти произведений

.

Знаки этих произведений равны соответственно знакам подстановок:

.

Эти подстановки имеют соответственно 0, 2, 2, 3, 1, 1 инверсий и знаки их соответственно равны  1, 1, 1, -1, -1, -1, что совпадает с их знаками в формуле (10).

Знаки в формулах (9) и (10) снабжаются по правилам, которые описываются следующими схемами.

При  n=2

              

При n=3

На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составляющие произведения определителя, входящие в него со знаком + и -.

Пример 5.

4. Свойства определителей.

Определение 9.  Транспонированием A матрицы называется такое ее преобразование, при котором строки матрицы становятся ее столбцами с теми же самыми номерами.

Матрица транспонированная матрице A обозначается символом : 

.

Свойство 1.  Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. .

Доказательство.  Определителя матрицы А есть алгебраическая сумма  n!  произведений вида

                                                            (11)

где в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и  каждого столбца матрицы A, со знаком равным знаку подстановки

.

Так как сомножители произведения  (11) также находятся по одному в каждом столбце и каждой строке матрицы  , то каждое произведение определителя матрицы A  входит в определитель матрицы  . Отсюда. так как количество слагаемых в  и в  одинаково, следует, что  и в  состоят из одних и тех же слагаемых. Для того, чтобы показать, что знаки произведений равны, составим подстановку для произведения (11) в    (учитываем, что строки матрицы А стали столбцами матрицы  с теми же номерами). Она равна подтановке:

.

Подстановки  иимеют одинаковое число инверсий, четность и знак.

Таким образом   и  суммы одних и тех же произведений и поэтому  . Свойство доказано.

Замечание 1. Из свойства 1 вытекает, что строки и столбцы матрицы равноправны, т.е., если какое-нибудь свойство доказано для строк, то оно будет справедливо и для столбцов и обратно. Поэтому дальнейшие свойства формулируются и доказываются только для строк. В дальнейшем под строками и столбцами определителя понимаются строки и столбцы соответствующей матрицы.

Свойство 2. Если в матрице поменять местами две строки, то абсолютная величина определителя не меняется, а знак определителя меняется на противоположный.

Доказательство. Пусть даны исходный и преобразованный определитель: 

.                                       (12)

Определитель получается из определителя d перестановкой i-й и j-й строк (точками обозначены все остальные строки, которые в d и совпадают. Требуется доказать, что d= -.

Определитель d есть алгебраическая сумма  n!  произведений вида

,                                                   (13)

где в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и  каждого столбца определителя d, со знаком равным знаку подстановки

.

Так как сомножители произведения  (13) также находятся по одному в каждом столбце и каждой строке определителя  , то каждое произведение определителя d входит в определитель  . Отсюда, так как количество слагаемых в d  и  одинаково, следует, что d  и  состоят из одних и тех же произведений, Для того, чтобы показать, что d= -, достаточно показать, что каждое произведение (13) определителях d  и имеет противоположные знаки. Знак произведения (13) в определителе   равен знаку подстановки: