Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость, страница 9

Решение.Чтобы воспользоваться известными нам основными разложениями, перейдём  от  ряда  Тейлора   к  ряду  Маклорена.  Для этого рассмотрим новую переменную t = x–7.   Тогда   .  С помощью несложных преобразований и одного из основных разложений, найдём разложение функции  в ряд Маклорена:

.

Теперь возвратимся к старой переменной  х:

.

Так как формула для суммы геометрической прогрессии, которой мы воспользовались, справедлива, если знаменатель , то полученное разложение справедливо при

.

4.   Написать  3  первых  ненулевых  члена  разложения  в  ряд  Маклорена  функции y = ln(e^x+x).

Решение. Будем последовательно вычислять y(0), y¢(0), y²(0), .... Нам нужно найти 3 первых ненулевых члена этой последовательности.

y(0) = ln(e⁰+0) = ln 1 = 0;

;

;

.

Подставляя в общую формулу ряда Маклорена, получим:

.

5.  Вычислить приближённо   arctg 0,25   с точностью до   0,001.

Решение. Используем полученное в примере 11 разложение арктангенса в ряд Маклорена:

.

Подставим :       .   Полученный ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Поэтому найдём слагаемое, которое меньше 0,001 и отбросим его и следующие за ним:

 .

14.6  Упражнения для самостоятельной работы

1. Найти область сходимости следующих рядов:

а)    ;                             б)   ;

в)   ;                                   г)   .

2. Найти радиус и интервал сходимости, исследовать сходимость в граничных точках для следующих степенных рядов:

а)   ;                                    б)   ;

в)  ;                               г)     ;

д)  ;                        е)     ;

ж)  ;                       з)   .

3.  Найти круг сходимости (без исследования на границе) для степенных рядов в поле комплексных чисел: а)  ;                                           б) ;

в)   ;                     г)   .

4. Построив  мажорирующие ряды, доказать равномерную сходимость на указанных промежутках следующих степенных рядов:

а) ;           б)   ;

в)                           г)     .

5.  Разложить функции в ряд Тейлора в окрестности точки х₀. Указать интервалы, на которых справедливы полученные разложения.

а)   ;                        б)   f(x) = ln x ,        x₀ = 4 ;

в)   f(x) = sin 3x ,      x₀ = p ;                       г)    .

6.  Разложить функции в ряд Маклорена. Указать интервалы,  которых справедливы полученные разложения.

а)   f(x) = (1+x)ln(1+x) ;                      б)   f(x) = (e^x+3)² ;

в)    ;                      г)     ;

д)   f(x) = sh x ;                                        е)   f(x) = ln(15–2x–x²) ;

ж)  f(x) = arcsin x ;                                з)   .

7. Написать 3 первых ненулевых члена разложения в ряд Маклорена следующих функций:

а)    ;                               б)   f(x) = e^x cos x ;

в)    ;                       г)    f(x) = tg x.

8.  Вычислить приближённо (с погрешностью, не превышающей e) значения функций:

а)  sin 3°,   e= 0,0001;                            б)   ln 1,3 ,     e= 0,001 ;

в)    ;                              г)   cos 1,e= 0,001 ;

д)    ;                               д)   .

9.  Вычислить приближённо (с погрешностью, не превышающей 0,001)  следующие интегралы:  а)        ;                            б)        ;

в)       ;                              г)     ;

14.7   Образец теста

(для дистанционной формы обучения).

1.  Найти область сходимости ряда  . В ответе указать целое число, не лежащее в области сходимости.

2.  Найти радиус сходимости ряда    .

3.  Ряд    на промежутке  [2, 3]   1) сходится равномерно;   2) сходится поточечно, но не равномерно;   3) сходится не во всех точках.  Указать номер правильного ответа.

4.  Найти коэффициент при  x⁴ в разложении функции  в ряд Маклорена.

5.  Сколько членов в разложении косинуса в ряд Маклорена нужно взять, чтобы вычислить cos 10° с ошибкой, не превышающей  0,0001 ?

6.  Вычислить  приближённо с точностью до  0,1 .