Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость, страница 4

Пусть теперь | x₁ | <| x₀ |.  Преобразуем слагаемые ряда  :

.

Но ряд  сходится – это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. По признаку сравнения, сходится и ряд  . Теорема доказана.

Следствие 1. Если ряд расходится при  x = x₀,  то он расходится и при любом  x₁:  | x₁ | >| x₀ |.

Доказательство  сразу вытекает из теоремы Абеля: ряд  сходиться не может, так как  тогда сходился бы и ряд  .

Следствие 2. Областью сходимости ряда   является интервал  (–R, R), к которому присоединены одна или обе концевые точки  x =± R.  В частности, областью сходимости такого ряда может быть одна  точка  {0}   (в этом случае   радиус  сходимости  R = 0) и вся прямая  ( –¥,¥)  (в этом случае  R = ¥).

Доказательство. Рассмотрим множество

{ | x | | ряд сходится }.

Если это множество не ограничено сверху, то ряд сходится в любой точке. Действительно, если предположить, что он расходится в некоторой точке х₀ , то Следствие 1 даёт противоречие с неограниченностью указанного множества.

Пусть теперь это множество ограничено сверху. Тогда, как известно, у него существует точная верхняя грань. Обозначим

 R = sup {  | x |  |    ряд   сходится }.

Допустим,  | x | <R.  Тогда, по определению супремума, найдётся точка  х₀,  в которой ряд сходится, причём  | x | <| x₀ |.По теореме Абеля, тогда и в точке  х  ряд сходится.

Допустим, | x | > R.  Тогда ряд в точке  х, очевидно, расходится.

Итак, доказано: внутри  интервала сходимости  (–R, R)  ряд сходится, вне отрезка [–R, R] – расходится.  Рассматривая примеры, мы убедимся, что концевые точки могут принадлежать области  сходимости, а  могут  и  не  входить  в  неё.  Напомним,  в  примере  2 найдена область сходимости ряда   –  это множество  [–1, 1). В примере 5 рассмотрен ряд   ,    его область  сходимости –  интервал   (–1, 1).

Замечание. Мы рассматриваем степенные ряды в области действительных чисел. Однако наши рассуждения остаются справедливыми и если коэффициенты  с_n –комплексные числа, а неизвестная  х  может принимать комплексные значения. Теорема Абеля и следствие 1 переносятся на этот случай без изменений, вместе с доказательствами. В следствии 2 вместо интервала сходимости  (–R, R)  следует рассматривать круг сходимости : {  x |  | x |< R }. Доказательство не изменяется. Внутри круга сходимости ряд сходится абсолютно, снаружи – расходится. В граничных точках может быть разная ситуация.

В  более  общем  случае  ряда    интервал сходимости имеет вид (x₀–R, x₀+R).  Если  ряд  рассматривается  в  поле  комплексных  чисел,  то  получаем круг {  x |  | x–х₀ | < R }  радиуса  R  с центром в точке  х₀.

Пример 6. Найти интервал сходимости ряда  , исследовать сходимость на концах интервала.

Решение. Применим признак Даламбера. Так как он справедлив лишь для рядов с положительными слагаемыми, то мы будем исследовать ряд . Вычислим предел:

.

По признаку Даламбера, ряд сходится, если   . Решая неравенство, найдём интервал сходимости:       | x+5 | < 2     Û–2 < x+5 < 2       Û–7 < x < –3.

Вне отрезка   [–7,–3]   предел    ,   поэтому ряд расходится.

Рассмотрим концы интервала.  Пусть x = –7.  Подставляем это значение в исходный ряд:  . По теореме Лейбница, этот ряд сходится.

Пусть  x = –3.  Тогда получаем ряд  ,  который расходится. Следовательно, область сходимости данного ряда – множество  [–7,–3).

Обобщая метод решения примера 6, выведем формулу для интервала сходимости степенного ряда.

Теорема 7. Рассмотрим степенной ряд . Вычислим  предел . Тогда радиус сходимости   ,  причём если   r= 0,  то   R = ¥,  а если   r= ¥,то  R = 0.

Доказательство. Рассмотрим ряд  .  В фиксированной точке  х это числовой ряд с положительными слагаемыми. Применим к нему признак Даламбера: