Решение систем алгебраических уравнений. Индукция по числу переменных. Старший член произведения двух ненулевых многочленов

подобных членов") и определено умножение одночленов:  .

Многочленом или полиномом называется формальная сумма одночленов, причем порядок слагаемых безразличен, т.е. это выражение вида

,                                             (35)

где  - элементы кольца P, а  пробегает некоторое конечное множество наборов неотрицательных целых чисел, при этом для сокращения записи условимся не писать формальных множителей  в тех случаях, когда . Для обозначения многочленов от  переменных  будем пользоваться символами ,  и т.п.

Максимальная из степеней одночленов, составляющих полином, называется его степенью. Полином, все члены которого имеют одинаковую степень, называется однородным или формой. Максимальная из степеней относительно какой-нибудь буквы называется степенью полинома относительно этой буквы.

Два полинома считаются равными, если они составлены из одинаковых одночленов. Для полиномов естественным образом определяются действия сложения и умножения. Именно, сумма двух полиномов составлена из объединения всех одночленов, составляющих слагаемые; произведение есть сумма произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго.

Если в выражении (35) многочлена  сгруппировать члены, содержащие переменную x_n в одинаковой степени, и каждой такой группе членов вынести эту степень x_n за скобки, то многочлен  представится в виде

.                        (36)

Например, . Этот процесс будем называть выделением переменной.

Ясно, что полином от букв  можно рассматривать как полином от x₁ с коэффициентами, являющимися полиномами от остальных букв.

При  члены многочлена однозначно упорядочиваются по убыванию (или по возрастанию) степени. При  такое упорядочение, вообще говоря, не однозначно, так как могут быть члены одинаковой степени, но с различными наборами показателей.

Для однозначного упорядочения членов многочлена от любого числа переменных используется так называемое лексикографическое упорядочение ненулевых одночленов. Одночлен  считается старше одночлена  (а одночлен v - младше одночлена u), если либо , либо , но , либо , , но  и т.д. В этом случае пишут:  (или ).

Например, . Как показывает этот пример, лексикографическое упорядочение не согласовано с упорядочением по степеням, т.е. лексикографически старший член может иметь меньшую степень.

Очевидно, что если  и , то , т.е. отношение  является отношением порядка. Название "лексикографическое упорядочение" объясняется тем, что если рассматривать наборы показателей одночленов как "слова", составленные из букв "алфавита" 0, 1, 2, ..., то расположение одночленов в порядке лексикографического возрастания будет обычным алфавитным расположением, какое употребляется в словарях (лексиконах).

Пример 21. Расположив в порядке лексикографического убывания члены многочлена , получим:  .

Очевидно, что среди членов любого ненулевого многочлена  имеется член, который старше всех остальных. Он называется старшим членом многочлена . Так, в приведенном выше примере старшим членом является .

Предложение 3. Если  и w - любой ненулевой одночлен, то .

Доказательство. Для того чтобы это доказать, достаточно заметить, что при умножении на w к показателям степени переменной x_i в одночленах u и v добавляется одно и то же число (равное показателю степени x_i в одночлене w) и, следовательно, знак неравенства (или равенства) между ними сохраняется.

Из предложения 3 выводится такое предложение:

Предложение 4. Если  и , то .

Доказательство. В самом деле, согласно предложению 3 из  следует, что  и аналогично из  вытекает, что . Следовательно, .

Из следующей теоремы вытекает, что полиномы образуют ассоциативное и коммутативное кольцо, обозначаемое  и являющееся областью целостности.

Теорема 32. Кольцо полиномов от нескольких букв над областью целостности есть область целостности.

Доказательство. Применяем метод математической индукции по числу букв. База индукции имеется - для полиномов от одной буквы это вытекает из теоремы 1. Положим теперь, что кольцо полиномов от  букв есть область целостности. Выделим переменную x_m. Тогда  кольцо полиномов от m букв есть кольцо, ибо оно является кольцом полиномов от одной буквы x_m над кольцом  полиномов от  букв. Теперь установим отсутствие делителей нуля. Пусть f и g - два ненулевых многочлена, u и w - их старшие члены. Произведение fg равно сумме всевозможных произведений членов многочлена f на члены многочлена g. В эту сумму будет входить и произведение uw, причем из отсутствия делителей нуля в кольце  следует, что коэффициент одночлена uw (равный произведению коэффициентов одночленов u и w) отличен от нуля. Покажем, что все другие произведения будут младше, чем uw. Если v - какой-либо член многочлена f, отличный от u, то  и по предложению 3 . Аналогично, если t - какой-либо член многочлена g, отличный от w, то . Наконец, при тех же предположениях по предложению 4 имеем: . Таким образом, среди произведений членов многочлена f на члены многочлены g не будет одночленов, подобных uw. Отсюда следует, . Теорема доказана. Одновременно доказали и такую теорему: