Решение систем алгебраических уравнений. Индукция по числу переменных. Старший член произведения двух ненулевых многочленов, страница 2

Теорема 33. Старший член произведения двух ненулевых многочленов от n переменных равен произведению их старших членов.

Упражнение 17. Расположите в лексикографическом порядке по убыванию одночлены в многочлене а); б) ; в).

Упражнение 18. Найдите старший член многочлена: а); б) , где , , .

Напомним, многочлен называется однородным степени m, если все его члены имеют степень m. Например, многочлен  является однородным степени 4.

Очевидно, что:

1.   сумма двух однородных многочленов одинаковой степени есть однородный многочлен той же степени;

2.   произведение однородных многочленов степеней m₁ и m₂ есть однородный многочлен степени .

Если в выражении многочлена сгруппировать члены одинаковой степени, то получится представление данного многочлена в виде суммы однородных многочленов различных степеней. Легко понять, что такое представление единственно. Составляющие его однородные многочлены называются однородными компонентами данного многочлена.

Упражнение 19. Найдите однородные компоненты многочлена из кольца : .

Теорема 34. Степень произведения двух ненулевых многочленов от n переменных равна сумме их степеней.

Доказательство. Пусть  - многочлен степени k,  - многочлен степени l. Представим каждый из них в виде суммы однородных многочленов. Пусть  их однородные компоненты соответственно степени k и l. Произведение fg равно сумме всевозможных произведений однородных компонент многочлена f на однородные компоненты многочлена g. Среди таких произведений есть произведение , отличное от нуля по теореме 33 и имеющее степень ; все остальные произведения имеют меньшую степень.

Каждый многочлен от n переменных с коэффициентами из кольца K определяет функцию на  со значениями в K. А именно, значением многочлена , задаваемого выражением (35), в точке  называется элемент кольца K, определяемый по формуле

.                           (37)

Аналогично тому, как это было сделано для многочленов от одной переменной, можно проверить, что функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, равна сумме (соответственно произведению) функций, определяемых этими многочленами.

Теорема 35. Если кольцо K бесконечно, то из равенства функций, определяемых двумя многочленами, следует равенство самих многочленов.

Доказательство. Индукция по числу переменных. Для многочленов от одной переменной утверждение теоремы вытекает из теоремы 4.

Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо для многочленов от  переменной, и докажем, что тогда оно справедливо для многочленов от n переменных. Пусть ,  - многочлены от n переменных , определяющие одинаковые функции, т.е. принимающие одинаковые значения во всех точках пространства . Представим  и  как многочлены от x_n с коэффициентами из кольца :

,  . Дадим переменным  произвольные значения . Пусть , . Многочлены , , как следует из нашего предположения, принимают одинаковые значения при всех значениях . В самом деле, при любом  . Теорема 4 позволяет заключить, что , т.е.   при любом k. Так как  - произвольные элементы кольца K, то в силу предположения индукции  при любом k; но тогда , что и требовалось доказать.

Теорема 36. Кольцо многочленов от n переменных над полем P является факториальным кольцом.