Решение систем алгебраических уравнений. Индукция по числу переменных. Старший член произведения двух ненулевых многочленов, страница 3

Доказательство. Индукция по n. Для  факториальность вытекает из следствия  теоремы 23. Предположим теперь, что кольцо  факториально, и докажем, исходя из этого, факториальность кольца . Из доказательства теоремы 35 следует, что кольцо  можно представить, как кольцо многочленов от одной переменной x_n над кольцом . Согласно следствию из теоремы 23 кольцо  будет факториальным.

Как и при , простые элементы кольца  называются неприводимыми многочленами. Обратимыми элементами кольца , как и в случае одной переменной, являются только многочлены нулевой степени, т.е. ненулевые элементы поля P. Ввиду этого неприводимый многочлен может быть определен как такой многочлен положительной степени, который не разлагается в произведение двух многочленов положительной степени. Так как при умножении многочленов степени складываются (теорема 34), то всякий многочлен первой степени неприводим. Существуют и другие неприводимые многочлены. Более того, при  неприводимы в некотором смысле "почти все" многочлены.

Пример 22. Докажем неприводимость многочлена  в кольце .

Рассмотрим  как многочлен  с коэффициентами из кольца . Так как его старший коэффициент равен 1, то он не делится ни на какой необратимый элемент кольца K. Поэтому если многочлен  не является простым элементом кольца , то он разлагается в произведение линейного и квадратного многочленов, причем произведение их старших коэффициентов равно 1. Можно считать, что линейный множитель имеет вид , где . По теореме Безу, g является тогда корнем многочлена , т.е.  или . Докажем, что в кольце K не существует элемента g, удовлетворяющего этому условию. В самом деле, так как при возведении в куб степень многочлена утраивается, такой элемент g должен быть многочленом первой степени от x₁ и x₂, т.е. многочленом вида  (); однако равенство  не имеет места ни при каких a, b, c, что следует, например, из сравнения коэффициентов при .

7.2. Решение систем алгебраических уравнений.

Вообще говоря, решение систем уравнений рассматривается в курсах приближенных вычислений. Здесь рассмотрим только системы алгебраических уравнений, причем основное внимание уделим алгебраическим методам их решения, причем эти методы имеют скорее теоретическое, чем прикладное значение. Рассмотрим два метода - метод последовательного исключения неизвестных и метод исключения неизвестного с помощью результанта. При этом ограничимся системами из двух уравнений с двумя неизвестными.

Вообще, системой алгебраических уравнений над полем P называется система уравнений вида , где  - многочлены с коэффициентами из поля P. Простейшие типы систем алгебраических уравнений - это алгебраические уравнения произвольной степени с одним неизвестным и системы линейных уравнений.

Аналогично тому, как это делается в случае систем линейных уравнений, решение системы алгебраических уравнений произвольной степени путем последовательного исключения неизвестных может быть сведено к решению уравнений с одним неизвестным.

Покажем, как производится исключение неизвестного в системе двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

.                                   (38)

Представим левые части уравнений данной системы в виде многочленов от x с коэффициентами из кольца :

причем будем считать, что a₀ и b₀ - ненулевые многочлены от y. Пусть для определенности . Если многочлен  домножить на , то его можно будет разделить с остатком на  в кольце , где  (следствие теоремы 22), т.е. найдутся такие многочлены , что

,                                        (39)