Электрическое поле в веществе. Основные определения и формулы. Проводник в электрическом поле. Силы, действующие на поверхность проводника

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Проводник в электрическом поле

Истинное электрическое поле в веществе  микрополе  меняется резко как в пространстве, так и во времени.

Под электрическим полем в веществе будем понимать пространственно усредненное микрополе E^! = E^!_микро .

Влияние вещества на поле: При внесении любого вещества в электрическое поле  в веществе происходит смещение положительных и отрицательных зарядов, что приводит к частичному разделению этих зарядов. Появляются нескомпенсированные заряды различного знака. Это явление называется электростатической индукцией, а появившееся в результате разделения заряды  индуцированными зарядами.

Поле внутри и снаружи проводника: Внутри проводника E^! = 0. Поле у поверхности проводника E_{n =} ^σ . Если σ> 0, то и E_n > 0, т.е. вектор

ε0

E! направлен от поверхности проводника  совпадает с нормалью _n^!, если σ< 0, то E_n < 0  вектор _E^! направлен к поверхности проводника.

По мере удаления от системы зарядов эквипотенциальные поверхности становятся все более близкими к сферическим, линии вектора _E^! приближаются к радиальным, а поле становится близким к полю точечного заряда q  полному заряда данной системы.

Силы, действующие на поверхность проводника:

Пусть заряженный участок поверхности проводника граничит с вакуумом, тогда: ∆F =σ∆ ⋅S E₀ , где σ∆S  заряд этого элемента, E₀  напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами системы в точке нахождения заряда σ∆S .

Уравнения Пуассона и Лапласа:

  уравнение Пуассона, где ∇²  оператор Лапласа (лапласиан); в декартовых координатах он имеет вид: .

Если между проводниками нет зарядов, то ∇²ϕ= 0  уравнение Лапласа. Электроемкость. Конденсаторы.

Электроемкость (емкость) уединенного проводника: C = _ϕ^q .

Емкость зависит от размеров и формы проводника.

Конденсатор  система проводников, обладающая емкостью значительно большей, чем уединенный проводник: C = _ϕ^q  емкость конденсатора, где

U  напряжение (разность потенциалов между обкладками).

Емкость плоского конденсатора: C ₌ ^εε_h^0S .

Емкость сферического конденсатора: C = 4πεε_{0 b}^ab_{− a} , где a и b  радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора.

Емкость цилиндрического конденсатора: C ₌ ^{2πεε l} , где l  длина конденсатора, a и b  радиусы внутренней и наружной цилиндрической обкладок.

Электрическое поле в диэлектрике

Диэлектриками (или изоляторами) называют вещества, практически не проводящие электрического тока. i  поляризованность диэлектрика.

P! = n p^! , где n = ^∆_∆^N_V  концентрация молекул.

_p^! ₌ ^(∑∆N^{p!i )}  средний дипольный момент одной молекулы.

Если диэлектрик изотропный, а _E^! не слишком велико, то _P^! = χε_0E^! , где χ  диэлектрическая восприимчивость вещества.

Теорема Гаусса для вектора P^! : "∫ PdS^{! !} = −q_внутр′  поток вектора P^! сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S .

∇⋅! !P = −ρ′  дифференциальная форма теоремы Гаусса, где ρ′  объемная плотность избыточного связанного заряда.

"∫ε₀EdS^{! !} = (q +q′)_внутр  теорема Гаусса, где q и q^′  сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S .

"∫(ε₀E! !+ P dS) ! = q_внутр ,

D =ε₀E! !+ P ,

"∫ DdS^{! !} = q_внутр  теорема Гаусса для поля вектора D^! .

∇! !D = ρ  дифференциальная форма теоремы Гаусса. Связь между векторами :

D! =ε χ₀ (1+ )E! или D^! =εε₀E^! , где ε= +1 χ  диэлектрическая проницаемость. Энергия электрического поля:

W q   энергия взаимодействия системы точечных зарядов, где q_i  i-й заряд системы, ϕ_i  потенциал, создаваемый в точке нахождения i-го

заряда.

W dV , где ρdV = dq, ϕ  потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом dV .

W = ^q2^{ϕ ϕ}₌ ^C2 ² ₌ 2^qC²  энергия уединенного проводника.

W = ^qU2 ₌ ^CU2 ² ₌ 2^qC²  энергия конденсатора.

!!

W         dV        dV       энергия однородного электрического поля, заполняющего объем V .

ω= εε E² = ED!!  объемная плотность энергии. Эта формула справедлива только в случае изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение P^! = χε₀E^! .

A =   работа на поляризацию единицы объема диэлектрика.

ЗАДАЧИ

Нахождение потенциала:

1. Система состоит из двух концентрических проводящих сред, причем на внутренней сфере радиуса R₁ помещен заряд q₁. Какой заряд q₂ следует поместить на внешнюю сферу радиуса R₂ , чтобы потенциал внутренней сферы стал равен нулю.

Решение 1:

Заряд распределяется симметрично. Чтобы внутри второй сферы было _E^! = 0 надо, чтобы все силовые линии, начинающиеся на заряде +q_i , заканчивались на внутренней поверхности сферы      R₂ , т.е. на ней распределится заряд −q₁. А на внешней поверхности сферы      R₂ будет заряд

q₂′ = q₂ + q₁, который и создает поле вне системы (поле шара вне шара

совпадает с полем точечного заряда), т.е. ϕ1(r >R2 ) = 4πεq′2₀r .

Внутри сферы R₂ (R₁<r <R₂ ): ϕ₂ (R₁<r <R₂ )=      ^q1       +ϕ₀ ,

4πε₀r

где _4πε^q10_r  потенциал, создаваемый зарядом q₁ на сфере R₁, ϕ₀  постоянный потенциал, созданный зарядом −q₁ на сфере R₂ .

На границе r = R2 : ϕ ϕ1 = 2 или 4qπε1 +0qR22 = 4πεq10R2 +ϕ0

или ϕ0 = 4πεq20R2 .