Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли. Случайные величины

Лекция 2. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Схема испытаний Бернулли. Случайные величины

Пусть об условиях наступления событияА можно сделать n взаимно исключающих предположений (гипотез) H , H ,...,H_{1 2 n} (т.е. А наступает в совокупности с одной и только  одной из гипотез). События H , H ,...,H_{1 2 n} образуют полную группу, следовательно,

n

∑ P H( _i ) = ¹. Тогда вероятность события А вычисляют по формуле полной вероятности  

i=1

(без доказательства):

 P A( ) = ^∑n _{P H}( _i )⋅_{P A H}(_i )                                                 (1)

i=1

Отметим, что в формуле (1) гипотезы H , H ,...,H_{1 2 n} исчерпывают все возможные предположения относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие А – один из возможных исходов второго этапа.

Пример 1. В первой урне 2 белых и 1 чёрный шар, во второй − 3 белых и 1 чёрный, в третьей − 2 белых и 2 чёрных. Выбирают наугад одну урну и берут из неё наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый (событие А). 

Решение. Об условиях наступления события А (взятый шар оказался белым) можно сделать три взаимно исключающих предположения (гипотезы ): H , H , H_{1 2 3}, где H − шар i был выбран из урны номер i (i = ^{1 2 3}, , ). Таким образом, опыт происходит в два этапа. На первом этапе наудачу выбирают одну из трёх урн с вероятностями 

P H( 1)= P H( 2) = P H( 3)=^{1 3}/ ,  на втором этапе из выбранной урны наудачу берут шар.

Соответствующие условные вероятности выбрать белый шар при условии, что была выбрана урна номер i (i = ^{1 2 3}, , ), равны: P A H(1) = ^{2 3}/ , P A H( 2) = ^{3 4}/ , P A H(3)=^{1 2}/ . По формуле полной вероятности (1) получим: P A( ) = P H( 1)P A H( 1) + P H( 2)P A H(2) +

+^{P H}( 3)^{P A H}(3) = (1 3 2 3 3 4 1 2 23 36 064/ ) (⋅     /      +    /           + / ) = /                                                = .  .

                                                            Формула Байеса

Пусть об условиях наступления событияА можно сделать n взаимно исключающих  предположений (гипотез) H , H ,...,H_{1 2 n} , и известно, что в результате опыта событие А произошло. Вероятность того, что при этом имела место гипотеза H , т.е.  P H(A), где

k k k =^{1 2}, ,...,n, вычисляют по формуле Байеса (без доказательства):

                                               )  P H( )P A H( )

                           P Hk A ⁼ _n                ^{k                         k}        .                                          (2)

∑ P H(    )P A H(  ) i         i i=1

Пример 2. Пусть при  условиях, изложенных в предыдущей  задаче, известно, что извлечённый шар − белый, т.е. событие А произошло. Какова вероятность, что была выбрана  вторая урна? 

Решение. Нужно вычислить вероятность выбора второй урны при условии, что извлечённый шар оказался белым, т.е. найти P H( 2 A). По формуле Байеса (2) находим:

P H( 2 A) = 3P H( 2)P A H( 2) = (1 3 3 4/ ) (⋅ / ) = 9 = _{039.           .}

                          ∑ P H( )P A H( )     23 36/          23

                          i=₁           i                  i

Пример 3. Студент знает 24 билета из 30.  В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше: если он пойдёт сдавать экзамен первым или если  − вторым? Решение. Сравним вероятности двух событий: событие А − вытащить счастливый билет, если он пойдёт сдавать экзамен первым и событие В − вытащить счастливый билет, если он пойдёт сдавать экзамен вторым.

24

 P A( )=    =08. . Вероятность события В зависит от того, какой билет достанется студен30 ту, сдающему экзамен первым. Т.о. об условиях наступления события В можно сделать два взаимно исключающих предположения (гипотезы ): H₁ − студент, сдающий экзамен первым, вытащил счастливый для второго билет и H₂ − студент, сдающий экзамен первым, вытащил несчастливый для второго билет. P H( 1)=24 30 08/ = . , P H( 2)=6 30 02/ = . . Тогда P B H(1) = ^{23 29 079}/ = . , т.к в распоряжении второго студента осталось 23 выученных билета из 29. Аналогично, P B H(2) = ^{24 29 083}/ = . .  По формуле полной вероятности

(1) находим:

P B( ) = P H( 1)P B H(1) + P H( 2)P B H(2) = 08 079 02 083 08. ⋅ .          + . ⋅ .                                                                                            ≈ . .

Получили P A( ) = P B( ) = ⁰⁸. , т.е безразлично, кто первым будет сдавать экзамен. 

Пример 4. Из ящика, содержавшего 4 белых и 6 чёрных шаров, потеряно два шара. После этого из него наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятности событий: 

1.  Извлечёны чёрные шары.

2.  Потеряны шары разного цвета, если известно, что извлечённые оказались чёрными.

Решение. Обозначим: событие В − извлечённые шары оказались чёрными. Об условиях наступления события В можно сделать три взаимно исключающих предположения (гипотезы ): H₁ − потеряно 2 белых шара,  H₂ − потеряно 2 чёрных шара и H₃ − потерян 1 белый и 1  чёрный шар.