Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли. Случайные величины, страница 3

Пример 6. Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна

0.08.Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

Решение. Воспользуемся формулой (4). В данном случае n = 96, p = 0 08.      , p n( +1) = 0 08 96.       (         +1) = 7 76.     , 6 76.  ≤ k0 ≤ 7 76.    , k0 = 7 ⁻ это наиболее вероятное число опоздавших студентов. 

Приближение Пуассона для схемы Бернулли.

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний n.  Если при большом числе испытаний вероятность p появления A в одном опыте мала, а произведение np =λ сохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появлений события А в разных сериях испытаний остается неизменным), то существует более удобная для расчетов приближенная формула Пуассона: 

λk_e−λ

                                                P_n,k ≈   .                                                                       (4) k!

Обычно её используют, если n ≥⁵⁰, а λ= np ≤¹⁰ . Таким образом, формула (4) позволяет найти вероятность k появлений события A для массовых (п велико) и редких (р мало) событий и используется в теории массового обслуживания.

Пример 7. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0.007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9  «сбоев» . 

Решение. По условию, n =1000, k =9, p =0007. . В нашем случае n велико, p мало, λ= =np ⁷. Поскольку λ<¹⁰ , для вычисления P_10009, можно использовать формулу Пу-

ассона (4): P_{1000 9, 9}!   .           .

Случайные величины

Под случайной величиной (сокращённо с.в.) понимают величину, принимающую в результате опыта то или иное значение, причём заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами X, Y, Z,…, а принимаемые ими значения ⁻ соответствующими малыми буквами x, y, z,....

С.в. называется дискретной (сокращённо д.с.в.), если множество её значений конечное или счётное . Дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные друг от друга значения. 

Напомним, что счётным  называется бесконечное множество, элементы которого можно перенумеровать с помощью чисел натурального ряда, например, ¹,         ,           ,..., ₂ ,...}. 

                                                                                                                                                                   1 1    1

                                                                                                                                                                   4 9    n

Примеры дискретных случайных величин: 1) Х ⁻ число очков, выпадающее при бросании игральной кости, 2) Y − количество выстрелов до первого попадания в цель, 3) Z ⁻  число вызовов, поступающих на телефонную станцию в единицу времени, 4) S ⁻ число выпадений герба при 10 подбрасываниях монеты.

С.в. называется непрерывной (сокращённо н.с.в.), если множество её значений несчётное, она может принимать любые значения из некоторого промежутка .

Примеры непрерывных случайных величин: 1) X − время безотказной работы прибора, 

2) Y −  расстояние от центра мишени до пробоины при попадании, 3) Z − дальность полёта снаряда и т.д.

Дадим строгое определение случайной величины.

Случайной величиной X называется числовая функция, определённая на пространстве элементарных событий Ω, которая каждому элементарному событию ω∈Ω ставит в соответствие число, т.е. X = f (ω) .

В дальнейшем, говоря, что дана случайная величина Х, будем подразумевать, что имеется испытание, в котором наблюдается (измеряется, подсчитывается) эта величина, а также существуют вероятности событий вида {X = x , X} { < x , a} { < X < b} и т.п., где

x,a,b − любые действительные числа.