Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли. Случайные величины, страница 4

Пример 1. Опыт состоит в двух подбрасываниях монеты. Ω ={ГГ,ЦЦ,ГЦ,ЦГ}, здесь Г обозначает выпадение герба, Ц − цифры. Можно рассмотреть на пространстве Ω с.в. Х − число появлений герба. Эта с.в. является функцией от элементарных событий ^ω_i (где i = ¹, 2, 3, 4): ω ω₁ = ГГ, ₂ = ЦЦ,ω₃ =ГЦ,ω₄ =_{ЦГ, X}(ω₁) = 2_{, X}(ω₂) = 0_{, X}(ω₃) = 1_{, X}(ω₄) = 1.

Таким образом, с.в. Х  принимает 3 значения: x₁ = ⁰, x₂ = ¹, x₃ = ² (их принято перечислять в порядке возрастания). Это дискретная случайная величина, т.к. множество её значений конечно.

«Случайный» характер с.в. проявляется в том, что различные значения она может принимать с теми или иными вероятностями.  Для полного описания случайной величины нужно указать закон её распределения. 

Законом распределения случайной величины называется любой способ (табличный, графический, аналитический) задания соответствия между множеством её возможных значений и вероятностями того, что с.в. примет то или иное значение из этого множества.

Универсальным способом задания закона распределения для любых случайных величин является функция распределения F x( ) . Для дискретных случайных величин можно также задавать закон распределения в виде ряда распределения или многоугольника распределения, а для непрерывных – в виде плотности вероятности f x( ). Рассмотрим подробнее эти способы.

Дискретные случайные величины

Пусть Х – дискретная случайная величина, имеющая n различных  возможных значений x ,x ,...,x_{1 2 n}. При этом события 

A₁ ⁼{X = x₁}, A₂ ⁼{X = x₂}, ..., A_n ⁼{X = x_n}                        (1) будут представлять собой случайные события, образующие полную группу попарно несовместных событий. Обозначим  p ,p ,...,p_{1 2 n} вероятности этих событий, т.е.

                p_k = P X{ = x_k},  k = 1 2, ,...,n.                                                       (2)

Таким образом, каждому возможному значению x_k д.с.в. Х ставится в соответствие число p_k , т.е. имеется функциональная зависимость между возможными значениями

д.с.в. и соответствующими вероятностями. Эта зависимость является простейшей формой закона распределения д.с.в., а таблица, в которой перечислены все возможные значения с.в. и указаны вероятности этих значений, т.е  таблица вида

называется рядом распределения дискретной случайной величины Х. Значения x_k обычно располагают в порядке возрастания. Поскольку события (1) образуют полную группу, сумма их вероятностей равна единице:

n

             ∑ p_k = 1  .                                                                                         (3)

k=1

Графически ряд распределения представляют в виде многоугольника распределения, который также называют полигоном распределения. При этом на оси Ох откладывают x_k , на оси Оу − p_k , точки (x ,p_{k     k} ) соединяют ломаной.

Пример 2.  В корзине 3 зрелых и 5 незрелых яблок, наудачу берут 3. Написать ряд распределения д.с.в. Х , равной количеству незрелых яблок среди отобранных. 

Решение. Д.с.в. Х может принимать значения 0, 1, 2, 3. Находим соответствующие вероятности: , p P X   C C /C     /           ,           p          P X      C         C /C     /           . Проверка: p₁ + p₂ + p₃ + p₄ = 1.

Ряд распределения Х: 

Пример 3. Построить многоугольник распределения с.в. Х для ряда распределения