Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема испытаний Бернулли. Случайные величины, страница 2

                                2            6 5 1                                     4 3       2                         C C^{4 6}1 1 24 8

1. P H₁ = ₂ =                  =   ,        P H₂ = ₂ =            =     ,  P H( 3) =    ₂ =       = ,

                                 C10 10 9 3                              C10 10 9 15                           C10          45 15

                       1             C⁴² 4 3 3⋅            (2)     C⁶²₂ 6 5 15⋅           (3)     C⁵²₂ 5 4 5⋅

P A H() = ₂ = = , P A H = = = , P A H = = = . ^C₈ 8 7 14⋅^C₈ 8 7 28⋅^C₈ 8 7 14⋅

Окончательно получим по формуле (1):

P A( ) = ∑ P H_i P A H(_i ) = (1 3 3 14/ ) (⋅           / ) (+ 2 15 15 28/      ) (⋅ / ) (+ 8 15 5 14 1 3/                                                ) (⋅              / ) =   /                         .

i

2. Чтобы ответить на второй вопрос задачи, нужно вычислить P H( 3A). По формуле (2) находим:

P H( 3 A) = 3P H( 3)P A H( 3) = (8 15 5 14/       ) (⋅       /       ) = 4 = _{057. .}

∑ P H( )P A H(     )     1 3/ 7 i=₁      i              i

            Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от результатов остальных опытов.

Примеры: 1) несколько последовательных подбрасываний монеты, 2) несколько последовательных извлечений двух шаров из ящика с белыми и чёрными шарами, если извлечённые шары перед каждым новым извлечением снова возвращают в ящик и шары перемешивают. 

Рассмотрим серию из n повторных независимых опытов, в каждом из которых может на-

ступить либо некоторое событие A (успех) с вероятностью p, либо A (неудача) с вероятностью q = −¹ p. Такие повторные независимые опыты называются испытаниями Бернулли или схемой Бернулли.

Вероятность P_n,k того, что в серии из n испытаний Бернулли событие А наступит ровно k раз, находят по формуле Бернулли:

P_n,k = C p q_n^{k k n k−} , где q = 1− p.                                                (3)

Число  k₀, при котором достигается максимальное значение этой вероятности, называется наивероятнейшим числом наступлений события Aи определяется неравенствами (если

p ≠0, p ≠1):

           p n( +1 1) − ≤ k₀ ≤ p n( +1).                                                                  (4)

Если p n( +¹) − целое число, то наивероятнейших значений два: .

Распределение вероятностей P_n,k между возможными значениями k от 0 до  n называется биномиальным, поскольку по формуле бинома Ньютона

            q      p     C p qnk k n k− .

k=0

∞

Учитывая, что q + =p ¹, получим ∑C p q_n^{k k n k−} = ¹.

k=0

Пример 5. В магазине проходит акция по продаже некоторого изделия. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке. Этикетки с этим знаком имеют 5% изделий. Найти вероятность того, что придется купить 10 изделий (событие В). 

Решение. Из постановки задачи следует, что десятое изделие должно иметь особый знак. Следовательно, из предыдущих 9 этот знак имели 4 изделия. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (3). Сформулируем условие задачи в терминах схемы Бернулли. Проводится серия из 9 повторных независимых опытов (покупка изделия), в каждом из которых событие А (появление изделия с особым знаком) может произойти с оди-

                                                             5        1                        19

наковой вероятностью p =       =     ,  q = 1− p =       . Вероятность того, что А наступит 4

                                                          100     20                       20

раза в 9 опытах P _,                C         /           / .           . Интересующее нас событие В произойдёт, если десятое изделие будет иметь особый знак на этикетке, т.е. P B( ) = p P⋅ 9 4_, = (1 20 00006092 00000304/ )⋅ . = . .