Постановка начально-краевой задачи для уравнений колебаний

Постановка начально-краевой задачи для уравнений колебаний

Определение. Классическим решением начально-краевой задачи называется функция непрерывная вместе с первыми производными в замкнутом цилиндре, имеющая непрерывные производные второго порядка в открытом цилиндре, удовлетворяющая уравнению, начальным и граничным условиям.

Теорема. Задача может иметь только одно классическое решение

Доказательство.

Пусть  -два различных классических решения

В силу линейности функция  является решением следующей однородной начально-краевой задачи

Построим интеграл

Покажем, что интеграл не меняется во времени

Воспользуемся первой формулой Грина

и подставим в предыдущее соотношение

Для первой  и для второй задачи  из начальных условий

Для третьей

Отсюда

из начальных условий

Итак, для всех случаев  и учитывая начальные условия

Формальное построение решения