Постановка начально-краевой задачи для уравнений колебаний
Определение. Классическим
решением начально-краевой задачи называется функция непрерывная вместе с
первыми производными в замкнутом цилиндре, имеющая непрерывные производные
второго порядка в открытом цилиндре, удовлетворяющая уравнению, начальным и
граничным условиям.
Теорема. Задача может иметь только одно классическое решение
Доказательство.
Пусть -два
различных классических решения
В силу линейности функция является
решением следующей однородной начально-краевой задачи
Построим интеграл
Покажем, что интеграл не
меняется во времени
Воспользуемся первой формулой
Грина
и подставим в предыдущее
соотношение
Для первой и для второй
задачи из
начальных условий
Для третьей
Отсюда
из
начальных условий
Итак,
для всех случаев и учитывая начальные условия
-два
различных классических решения
является
решением следующей однородной начально-краевой задачи
из
начальных условий 
и учитывая начальные условия 
