Уравнение Кортевега-де Фриза

Уравнение Кортевега-де Фриза.

 (1)

Этим уравнением описывает процесс распространения волн на поверхности воды.

Одним из замечательных свойств уравнения является наличие бесконечного числа законов сохранения, т.е. интегралов движения

, ,

Схема обратной задачи рассеяния.

Оказалось, что уравнение (1) тесно связано с уравнением

  (2)

Это стационарное уравнение Шредингера.

Будем называть функцию  быстроубывающей, если

Будем ниже предполагать, что быстроубывающая.

Для уравнения рассмотрим две задачи.

Первая состоит в нахождении таких , при которых уравнение имеет нетривиальные решения  .

Вторая – в нахождении при  ограниченных решений уравнения (2) с заданным асимптотическим поведением при

Здесь . А функции  и

Первая задача – задача о нахождения собственных значений ( уровней энергии), при этом считаем, что  нормирована на единицу в .

Вторая – задача рассеяния плоской волны на потенциале , причём