Теорема. Решение уравнения ,
определённое и непрерывное в замкнутой области, не может достигать во
внутренних точках области положительных максимальных и отрицательных
минимальных значений
Доказательство.
Пусть , тогда ,,откуда
Но в этом случае в правой части уравнения стоит
отрицательное число, т.е. ур-е не выполнено. Это предположение показывает, что
исходное уравнение не верно.
Фундаментальное решение.
Трёхмерный случай.
Ситуация сложнее
,,и любое из этих решений можно взять
как фундаментальное.
Двумерный случай
, ,
В ограниченной области можно брать любое в неограниченной
выбор фундаментального решения определён выбором условия на бесконечности.
Для вывода третьей формулы Грина для оператора Гельмгольца
необходимо провести те же, выкладки, что и для оператора Лапласа.
Таким образом сразу получаем интегральное представление
.
,
определённое и непрерывное в замкнутой области, не может достигать во
внутренних точках области положительных максимальных и отрицательных
минимальных значений
, тогда 
,
,
,
,
и любое из этих решений можно взять
как фундаментальное.
, 
,
