Уравнение Гельмгольца

Уравнение Гельмгольца

Принцип максимума для уравнения .

Теорема. Решение уравнения , определённое и непрерывное в замкнутой области, не может достигать во внутренних точках области положительных максимальных и отрицательных минимальных  значений

Доказательство.

Пусть , тогда ,,откуда

Но в этом случае в правой части уравнения стоит отрицательное число, т.е. ур-е не выполнено. Это предположение показывает, что исходное уравнение не верно.

Фундаментальное решение.

Трёхмерный случай.

Ситуация сложнее

,,и любое из этих решений можно взять как фундаментальное.

Двумерный случай

, ,

В ограниченной области можно брать любое в неограниченной  выбор фундаментального решения определён выбором условия на бесконечности.

Для вывода третьей формулы Грина для оператора Гельмгольца необходимо провести те же, выкладки, что и для оператора Лапласа.

Таким образом сразу получаем интегральное представление

Краевые задачи

Внутренняя задача Дирихле для уравнения