где A1,B1,A2 – комплексные амплитуды волн.
Колебания точек первой струны будут определяться суммой падающей и отражённой волн, а второй струны – только прошедшей волной.
Из условий непрерывности струны и отсутствия излома на границе раздела (x = 0) следуют условия равенства смещения и первой производной смещения по координате x при x = 0 :
A1 + B1 = A2 , (14)
– k1A1 + k1B1= – k2 A2 . (15)
Воспользуемся тем, что частота колебаний и сила натяжения при переходе от первой струны ко второй остаются неизменными. Умножим уравнение (15) на отношение силы натяжения к циклической частоте. Учтём, что Tk/ω = T/v = (Tρ)1/2 = Z. Система уравнений (14),(15) окончательно преобразуется к виду:
A1 + B1 = A2 , (16)
– Z1A1 + Z1B1= – Z2 A2 . (17)
Из последней системы уравнений получаем отношения амплитуд отражённой и прошедшей волн к амплитуде падающей:
B1/A1 = (Z1 – Z2)/(Z1 + Z2) , (18)
A2/A1 = 2Z1/(Z1 + Z2) . (19)
Первое отношение называется амплитудный коэффициент отражения, второе – амплитудный коэффициент пропускания.
Значения полученных коэффициентов однозначно определяются отношением импедансов. Очевидно:
-1 < B1/A1< 1 ,
0 < A2/A1< 2.
Если Z1 = Z2 (реакция струн на воздействие одинакова), то B1/A1=0 и отражённой волны не возникает. В этом случае имеет место согласование импедансов.
Если Z1 ≠ Z2, то отражённая волна образуется. Причём, если Z1 > Z2 , то волна отражается в фазе с падающей (коэффициент отражения B1/A1 положителен). Если же Z1 < Z2 , то волна отражается в противофазе с падающей (коэффициент отражения отрицателен). Амплитуда отражённой волны всегда меньше амплитуды падающей. Исключение составляет случай, когда Z2 = ∞ и волна не может распространяться по второй струне. Это соответствует условию закрепления конца первой струны (точка x = 0). В такой ситуации волна отражается от точки закрепления в противофазе и с амплитудой, равной амплитуде падающей волны.
С отражением волн от границы раздела двух сред связано образование стоячих волн. Установившееся свободное гармоническое колебание струны, концы которой закреплены, является примером стоячих волн.
Рассмотрим струну длиной L, оба конца которой закреплены. В этом случае волны будут отражаться от первой (x = 0) и от второй (x = L) точек закрепления. В установившемся состоянии на струне будут одновременно существовать две гармонические волны - прямая (падающая) и обратная (отраженная). Колебания точек струны будут определяться суммой двух волн. Складывая уравнения (11),(12) с учётом особенностей отражения волн и переходя к их действительному представлению, получаем уравнение стоячей волны на струне:
y = 2A sin(kx)sin(ωt). (20)
Из уравнения (20) следует, что точки струны будут совершать гармонические колебания, амплитуда и фаза которых зависят от координаты x.
Воспользуемся условием y = 0 при x = L (точка закрепления струны):
2A sin(kL) = 0.
Отсюда следует условие существования стоячих волн на струне:
kL = nπ, где n = 1, 2, 3 …, (21)
или:
L = nλ/2, где n = 1, 2, 3 …. (22)
Последнее означает, что на длине струны должно укладываться целое количество длин полуволн.
Длинам волн, удовлетворяющим данному условию, соответствуют определённые значения циклической частоты колебаний струны:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.