Уравнение (1) описывает гармоническую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x. Такую волну принято называть прямой. Чтобы описать обратную волну, достаточно в уравнении (1) поменять знак у выражения, содержащего координату x:
ψ = ψo cos(ωt + kx). (3)
Это уравнение описывает гармоническую волну, распространяющуюся в направлении, противоположном направлению оси x.
Для описания гармонических волн может быть использована комплексная форма представления:
ψ = ψo exp(i(ωt – kx)). (4)
Перейти от (4) к (1) можно, выделив действительную часть комплексного выражения (4).
Строго говоря, гармонических волн не существует. Но многие волновые процессы либо близки к гармоническим, либо их можно представить как линейную суперпозицию (сумму) гармонических волн разных частот. В последнем случае принято говорить о волновом пакете.
Нетрудно показать, что гармонические функции и их линейные комбинации являются решениями дифференциального уравнения:
d2ψ/dt2 = v 2(d2ψ/dx2) . (5)
Если динамика возмущения вещества или поля в среде описывается таким уравнением, то в среде могут распространяться волны (в том числе и гармонические). Дифференциальное уравнение (5) получило название волнового уравнения.
В общем случае решением данного уравнения являются любые функции вида ψ = f(vt ± x). Это значит, что волновое уравнение (5) описывает любые волновые процессы, для которых характерна неизменность пространственной формы возмущения (волнового пакета) в процессе распространения этого возмущения в пространстве. С точки зрения представления произвольной волны в виде суммы гармонических волн это означает независимость фазовой скорости гармонических составляющих волны от частоты. В данном случае говорят о волнах (и о средах) без дисперсии. В противном случае говорят о волнах (и о средах) с дисперсией.
При наличии дисперсии фазовая скорость гармонических волн зависит от частоты. Это означает, что пространственная форма волнового пакета по мере его распространения изменяется. Для описания таких волн, наряду с фазовой скоростью, используется понятие групповой скорости, характеризующей движение возмущения и скорость переноса им энергии. Групповая скорость определяется соотношением:
vгр= dω/dk .
Волновое уравнение (5) не описывает волны с дисперсией. Кроме (5) возможны и другие формы уравнений движения, характеризующих волновые процессы.
Для того чтобы в среде распространялись гармонические волны, необходим источник колебаний, оказывающий на среду гармоническое воздействие (возмущающий состояние среды). Для акустических волн это может быть переменная сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для электромагнитных волн – переменное поле, изменяющееся по гармоническому закону.
Как следует из (1), уравнение гармонической волны характеризуется тремя параметрами – циклической частотой, волновым числом и амплитудой.
Возникает закономерный вопрос о связи этих величин с характеристиками источника колебаний и характеристиками среды.
Циклическая частота гармонической волны равна циклической частоте колебаний источника. Это связано с тем, что волновой процесс, по существу, является вынужденным колебанием, которое за счёт особых свойств среды распространяется в пространстве.
Волновое число зависит от фазовой скорости волн в данной среде и от циклической частоты колебаний источника :
k = ω/v .
Амплитуда волны, с одной стороны, зависит от амплитуды колебаний источника возмущения, а, с другой стороны, она зависит и от свойств среды, определяющих её отклик на возмущающее воздействие. Разные среды могут по-разному реагировать на одно и то же воздействие. Параметр, характеризующий отклик среды на гармоническое воздействие, получил название импеданса или волнового сопротивления среды.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.