Если расстояниеzдостаточно велико (позже мы покажем, насколько большим оно должно быть), то лучи ОР и АР можно считать практически параллельными, а длина АР меньше длины ОР на _________________. Разность фаз двух лучей, следовательно, составляет __________________ , где _______ количество волн излучения.
|
|
|
Рис. 2.11. Геометрия дифракции Фраунгофера на щели. |
Если справедливо условие, что разность фаз в заданном направлении линейно зависит от положения точки на щели, то описанное явление называется дифракцией Фраунгофера. Комплексная амплитуда в точке Р, образуемая излучением сквозь элементарный участок щели шириной dy, расположенный в точке А, пропорциональна величине
Полную амплитуду в точке Р найдем, интегрируя это выражение по всей ширине щели:
Полученная формула очень напоминает преобразование Фурье (2.16). Мы можем сделать это согласие даже точным, введя понятие амплитудной функции пропускания f(y) в плоскости экрана, которой определяется пропускаемая доля амплитуды входящего излучения. В случае щели, о которой мы говорим, f(y) = 1 при - w/2 < у < w/2, а иначе f(y) = 0. Используя функцию f(y) для характеристики одномерного апертурного распределения общего вида, получим выражение полной амплитуды в направлении ___________:
(2.41)
которое, по существу, является преобразованием Фурье, но его часто называют интегралом дифракции Фраунгофера.
В п. 2.3 мы установили время ____ и угловую частоту _____ как пару сопряженных переменных, связанных преобразованиями Фурье, а здесь аналогичными переменными являются ________ и ___________. В такой же форме и здесь проявляется принцип неопределенности. Проинтегрировав функцию (2.41) для нашей щели шириной ______, найдем:
Эта функция также имеет вид, показанный на рис. 2.5, а ее первые пересечения нулевого уровня происходят при_______________________. Если ___________, то ___________ значительно меньше 1 и тогда можно положить_______________, и значит
(2.42)
Этот результат соответствует уравнению (2.18), и он говорит о том, что если плоский пучок параллельных лучей с длиной волны __________ проходит сквозь отверстие шириной _______, то он превращается в расходящийся пучок с углом раствора порядка ____________ радиан.
Уравнение (2.41) применимо к случаю одномерной дифракции, т. е. тогда, когда амплитудная функция пропускания _______ зависит только от у. В двумерном же случае эта функция должна быть записана как ___________, а интеграл дифракции примет вид:
(2.43)
Этот двойной интеграл очень трудно найти в общем виде, но есть два специальных случая, о которых нужно сказать. Первый — это когда функцию __________ можно разложить на две независимые составляющие:_____________. Тогда двойной интеграл преобразуется в произведение двух простых интегралов вида (2.41). Таким приемом можно, например, рассчитать картину дифракции при прямоугольном отверстии. Второй специальный случай мы имеем при круговой симметрии амплитудной функции пропускания. Здесь удобнее использовать полярные координаты. Нам достаточно рассмотреть только один вариант, а именно — дифракционное отверстие (апертуру) правильной круговой формы диаметром D. Амплитуда претерпевших дифракцию волн в этом случае определяется выражением:
(2.44)
где _________ функция Бесселя первого порядка, а ________ - радиальный угол. Функция (2.44) графически представлена на рис. 2.12. Так как функция __________ достигает нуля при х = 3,832, то первое прохождение через нуль происходит при_____________________
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
