Электромагнитные волны в свободном пространстве, страница 5

При Т = 280 К получим f << 6000 ГГц или______ 50 мкм, так что аппроксимация приемлема в диапазоне радио- и микроволновых частот для объектов с обычной наземной температурой.

Любое из выражений (2.30) или (2.31) формулы Планка можно проинтегрировать, и тогда получим полную яркость излучения абсолютно черного тела по всем длинам волн:

(2.33)

Поскольку излучение изотропно, полная светимость М согласно формуле (2.25) составит:

Эту формулу обычно записывают в более компактном виде:

(2.34)

Где

Вт/(м²К⁴)

и называется постоянной Стефана—Больцмана, а уравнение (2.34) называется законом Стефана. Оно показывает, сколько энергии излучается абсолютно черным телом при температуре __________ суммарно по всем длинам волн.

            Если мы хотим знать, как эта энергия распределена в зависимости от длины волны, мы, конечно, можем непосредственно использовать уравнение (2.30), но чаще бывает достаточно определить длину волны ________, при которойL_x(спектральная яркость) достигает максимума. Для этого нужно продифференцировать выражение (2.30), и тогда получим:

(2.35)

где константа А приближенно равна 2,898•10^-3 К•м. Уравнение (2.35) называют законом смещения Вина.

            Например, Солнце можно рассматривать в качестве хорошей аппроксимации абсолютно черного тела при температуре около 5800 К, так что пик спектральной яркости приходится на_max 0,50 мкм, т. е. в середине видимой части спектра, как и следовало ожидать. С другой стороны, для абсолютно черного тела при температуре 280 К, типичной для земной поверхности, расчет дает _max10,3 мкм, что лежит в тепловой инфракрасной области электромагнитного спектра.

Может понадобиться также вычислить энергетическую яркость или светимость абсолютно черного тела для ограниченного диапазона длин волн. Эту задачу можно несколько упростить путем интегрирования по безразмерным переменным. В частности, мы можем записать

(2.36)

где безразмерные переменные х₁ и х₂ определены так:

а функция f(х) имеет вид:

(2.37)

Ранее мы отметили, что маленькое отверстие в стенке полого объекта позволяет интерпретировать его как абсолютно черное тело. Это не совсем точная модель для реальных материалов, поэтому вводится понятие излучательной способности _________, характеризующей отношение энергетической яркости реального тела при температуре Т к соответствующему значению для абсолютно черного тела.           Излучательная способность часто зависит от длины волны, так что в более общем виде ее нужно обозначить как _________, и мы можем определить ее из выражения:

(2.38)

где _________ обозначает энергетическую яркость абсолютно черного тела, определяемую уравнением (2.31) (индекс «р» здесь означает «Планк»). Нетрудно догадаться, что тело, являющееся хорошим излучателем (т. е. с большим значением ________), должно так же хорошо поглощать излучение, — на самом деле эти две характеристики равны (согласно закону излучения Кирхгофа).

Это можно легко объяснить с учетом того, что любое тело при температуре Т должно быть в термодинамическом равновесии по отношению к излучению абсолютно черного тела, спектр которого соответствует той же температуре. Если, скажем, тело поглощает лучше, чем излучает, то оно бы нагревалось, а этого не должно быть в соответствии с условием равновесия. Значит, отражательная способность должна быть равна____________. Отсюда также следует, что значение излучательной способности должно лежать между 0 и 1.

Нередко бывает удобным, в частности при рассмотрении пассивных микроволновых систем (гл. 7), определять яркостную температуру тела, испускающего тепловое излучение. Это температура эквивалентного абсолютно черного тела, обладающего той же энергетической яркостью в рассматриваемом диапазоне длин волн. Комбинируя уравнения (2.31) и (2.38), мы можем увидеть, что при длине волны ________, температуре тела Т и излучательной способности __________ яркостную температуру ___________ можно найти из уравнения:

Из его решения получим:

(2.39)