Вычисление значений функции с помощью интерполяционного полинома Лагранжа

Интерполяция нелиненых функций

Лабораторная работа № 2.8. Вычисление значений функции с помощью интерполяционного полинома Лагранжа

Цель: Изучить интерполяционный полином Лагранжа, область его применения и освоить решение прикладных задач с его помощью.

Оборудование и программное обеспечение: Персональный компьютер под управлением операционной системы семейства Windows, пакет Microsoft Office, интегрированная среда программирования Turbo C.

Введение. При решении прикладных задач иногда возникает необходимость вычисления значения таблично заданной функции f(x) при некотором значении аргумента x₀, которое не совпадает ни с одним из узлов x_i (i=0, 1, ¼ , n), в которых известны её значения f(x_i). Поэтому возникает проблема доопределения функции f(x), используя известные её значения f(x_i), для всех xÎ [x₀, x_n]. Один из способов доопределения функции заключается в построении интерполяционного полинома Лагранжа L_n(x), значения которого в узлах x_i совпадают с  f(x_i). Такой полином имеет вид

Формы представления интерполяционного полинома Лагранжа. После того как построен полином Лагранжа (4.8.1), то в качестве приближенного значения функции f(x₀) берется его значение в точке x₀, то есть

При вычислении коэффициентов полинома Лагранжа разности, входящие в выражение (4.8.1), для наглядности удобнее расположить в форме таблицы 4.8.1.

Таблица 4.8.1

Представление разностей полинома Лагранжа

Обозначив произведение элементов i – ой строки таблицы 4.8.1 через D_i(x) (i = 0,1, ¼ , n), а произведение элементов главной диагонали – через Õ_n+1(x)

выражение для полинома Лагранжа (4.8.1) можно переписать в виде

Формулы (4.8.2) –(4.8.4), как правило, используются для вычисления значения функции f(x), которая задана таблично в неравноотстоящих узлах, при значении аргумента x₀, не совпадающего ни с одним из узлов.

На практике не редки случаи, когда функция f(x) задается таблично в узлах x_i, соседи которых удалены на одинаковое расстояние. В таком случае говорят, что функция задана таблично в равноотстоящих узлах x_i (i=0, 1, ¼ , n). Рассмотрим, какой вид примет интерполяционный полином Лагранжа (4.8.4) при таком выборе узлов.

Показано, что если ввести следующие обозначения

то полином Лагранжа (4.8.4) можно записать в виде следующего соотношения

Полученные выражения (4.8.5) – (4.8.7) следует применять для вычисления значения функции f(x) таблично заданной в равноотстоящих узлах.

Таким образом, в зависимости от того, каким образом заданы узлы x_i (i=0, 1, ¼ , n), в которых определены значения функции f(x_i), имеем две формы представления полинома Лагранжа, а именно (4.8.2) – (4.8.4) и (4.8.5) – (4.8.7).

Пример выполнения задания. Предположим, что требуется вычислить значение функции f(x) = y(x) при x₀ = 0,263, которая определяется табличными значениями

Таблица 4.8.2

Значения функции f(x)

Так как узлы x_i расположены не равномерно, воспользуемся формулами (4.8.2) – (4.8.4). Результаты вычислений приведены в таблице 4.8.3.

Таблица 4.8.3

Данные расчетов