Вычисление значений функции с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, страница 8

где

Продифференцируем сплайн (4.10.2) по переменной x дважды

Из условий непрерывности производных (4.10.4) и (4.10.5) при переходе от i-го к (i+1)-му сплайну в точке x_i с учетом выражений (4.10.11) и (4.10.12) получим следующие соотношения:

Из граничных условий (4.10.6) и (4.10.7) на основании выражения для второй производной (4.10.12) получим, что

Соотношения (4.10.8) – (4.10.10) и (4.10.13) – (4.10.16) представляют собой полную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов сплайнов a_i, b_i, c_i и d_i.

Прежде чем ее решать преобразуем ее к такому виду, чтобы неизвестными бала только одна группа коэффициентов c_i.

Для этого из уравнения (4.10.16) коэффициенты d_i выразим через c_i:

Используя (4.10.8) и (4.10.17), из уравнения (4.10.9) можем представить коэффициенты b_i также через коэффициенты c_i:

После подстановки выражений (4.10.17) и (4.10.18) в (4.10.13) получим уравнение, в которое входят только неизвестные коэффициенты c_i. Для удобства записи в полученном уравнении уменьшим значение индекса i на единицу

в котором 2 £  i £ n.

При i = n, учитывая условие свободного конца сплайна, в уравнении (4.10.19) следует положить

Таким образом, n – 1 уравнение вида (4.10.19) вместе с условиями (4.10.15) и (4.10.20) образует систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов c_i. Коэффициенты d_i и b_i вычисляются после нахождения коэффициентов c_i по формулам (4.10.17) и (4.10. 18) соответственно, коэффициенты a_i равны значениям аппроксимируемой функции в узлах в соответствии с формулой (4.10.8).

Метод прогонки. В каждом из уравнений вида (4.10.19) входит  только три неизвестных коэффициента с последовательными значениями индексов c_i-1, c_i и c_i+1. Следовательно, матрица системы линейных уравнений (4.10.15), (4.10.19) и (4.10.20) относительно c_i является трехдиагональной (она имеет отличные от нуля элементы только на главной и двух примыкающих к ней диагоналях). Для решения систем с трехдиагональной матрицей рекомендуется применять наиболее эффективный численный метод – метод прогонки, который является частным случаем метода исключения Гаусса.

Рассмотрим его более детально применительно к системе (4.10.15), (4.10.19) и (4.10.20). Для сокращения записи промежуточных выкладок уравнение (4.10.19) перепишем в виде

вводя следующие обозначения:

Так же как и метод Гаусса, метод прогонки разделяется на два этапа – прямой и обратный. В процессе прямого хода метода прогонки вычисляют значения коэффициентов линейной связи каждого предыдущего неизвестного c_i с последующим c_i+1. запишем (4.10.21) при i = 2

Учитывая граничное условие (4.10.15) из (4.10.23) находим связь коэффициента c₂ с коэффициентом c₃

в которой k₂ и l₂ прогоночные коэффициенты