Вычисление значений функции с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, страница 5

Введение. При вычислении значения таблично заданной функции не всегда нахождение значения полного полинома Лагранжа является наиболее оптимальным методом с точки зрения используемых временных ресурсов ЭВМ. Как правило, необходимо найти значение функции с некоторой заданной точностью e. По этому значение интерполяционного полинома Лагранжа следует рассчитывать с такой же точностью. Для решения такой задачи Эйткен предложил соответствующую итерационную процедуру, согласно которой рассчитывается значение интерполяционного полинома Лагранжа с требуемой точностью, не определяя коэффициенты самого полинома, а, используя только табличные значения, которые задают функцию.

Вычисление приближенного значения функции, заданной таблично. Если стоит задача о вычислении значения функции f(x) с заданной точностью e, то наиболее предпочтительным способом является использование вычислительной схемы Эйткена. Её применение позволяет найти приближенное значение интерполяционного полинома Лагранжа, не определяя при этом его коэффициенты, что приводит к уменьшению временных ресурсов ЭВМ для получения конечного результата.

Основу схемы Эйткена составляет последовательное вычисление значений полиномов Лагранжа, начиная с полиномов первого порядка, а затем полученные данные используются для определения значений полиномов второго порядка и так далее. На k – ом шаге может оказаться, что значения полиномов Лагранжа k – го порядка по своему значению будут отличаться на величину меньшую, чем e. Поэтому вычисление значений полиномов порядка выше k – го не имеет смысла.

 Итерационный процесс Эйткена имеет вид

Процесс вычислений прекращается, если выполнены следующие условия

которые указывают на то, что требуемая точность расчетов обеспечена. Иначе процедуру вычисления значений полиномов более высокого порядка необходимо продолжить, пока не будет достигнуто выполнение условий (4.9.4).

Пример работы вычислительной схемы Эйткена. Рассмотрим задачу о вычислении значения функции f(x) с точностью e»0,00001 в точке x₀ = 0,8925, заданной таблично (см. таблицу 4.9.1).

Таблица 4.9.1

Значения функции f(x)

Расчеты будем проводить по формулам (4.9.1) – (4.9.4), результаты которых представим в виде таблицы. Для уменьшения объема представляемых данных из таблицы 4.9.1 выберем шесть значений таким образом, чтобы значение аргумента 0,8925 было расположено между двумя средними значениями независимой переменной x (смотрите первый столбец таблицы 4.9.2).

Таблица 4.9.2

Результаты промежуточных вычислений