Математика \ Высшая математика

Вычисление значений функции с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, страница 9

Далее, подставляя выражение (4.10.25) в уравнение (4.10.21) при i = 3, получаем линейную связь коэффициента c3 с коэффициентом c4

  .

(4.10.26)

Поступая аналогичным образом для любых соседних коэффициентов с номерами i и i + 1, можно установить линейную связь между коэффициентами ci и ci+1 вида

  .

(4.10.27)

В процессе выполнения прямого хода метода прогонки необходимо вычислить значения всех прогоночных коэффициентов ki и li, для которых получим рекуррентные соотношения. Для этого подставим формулу связи (i-1)-го и i-го коэффициентов

(4.10.28)

в уравнение (4.10.21), в результате получим

  .

(4.10.29)

Сравнивая полученное соотношение с выражением (4.10.27), получаем рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов ki и li:

  .

(4.10.30)

Чтобы найти значения коэффициентов k1 и l1, запишем связь между коэффициентами c1 и c2

  .

(4.10.31)

Учитывая граничное условие (4.10.15) и полагая, что c2 ¹ 0 из соотношения (4.10.31) получаем

  .

(4.10.32)

Затем по формуле (4.10.30) вычислим все n пар прогоночных коэффициентов ki и li.

На основании соотношения

(4.10.33)

и граничного условия (4.10.20) получим, что

  .

(4.10.29)

Далее последовательно применим формулу (4.10.27) при i = n–1, n–2, ¼, 2 и вычислим значения искомых величин cn-1, cn-2, ¼, c2. эта процедура является обратным ходом метода прогонки.

После определения всех коэффициентов ci другие коэффициенты сплайна вычисляются по формулам (4.10.8), (4.10.17) и (4.10.18), после чего аппроксимирующую функцию j(x) можно рассчитать с помощью соотношения (4.10.2) в любой точке x на интервале [x0, xn].

Пример, иллюстрирующий применение кубической сплайн аппроксимации при вычислении значений функции и ее производных. Рассмотрим задачу о вычислении значений функции f(x) и ее первой и второй производных в точке x0 = 0,8925. Функция задана таблично (см. таблицу 4.10.1).

Таблица 4.10.1

Значения функции f(x)

xi

f(xi)

0,8902

1,23510

0,8909

1,23687

0,8919

1,23941

0,8940

1,24475

0,8944

1,24577

0,8955

1,24858

0,8965

1,25114

0,8975

1,25371

0,9010

1,26275

0,9026

1,26691

(4.10.29)

(4.10.29)

(4.10.29)

(4.10.29)

(4.10.29)

(4.10.29)

Порядок выполнения работы на ПЭВМ.

1.  Определить какую форму записи полинома Лагранжа необходимо использовать при решении поставленной задачи.

2.  Разработать блок-схему алгоритма для вычисления значения таблично заданной функции.

3.  Написать главную программу на основе разработанной блок-схемы и предусмотреть вывод результатов на экран монитора или печатающее устройство.

4.  Перенести программу на магнитные носители информации, отладить, протестировать и провести необходимые расчеты.

5.  Провести анализ полученных данных и оформить отчет по лабораторной работе в соответствии с требованиями, которые описаны в разделе "Правила по выполнению и оформлению лабораторных работ".

Скачать файл