Вычислительная математика как часть математики, страница 8

(f ¢ ¹ 0,  f ¢¢ ¹ 0).

2. Возможны два случая:

·  если f(a)×f ¢¢ (x) > 0, то слева применяем метод Ньютона, а справа метод хорд.

Формулы метода:

·  если f(b)×f¢¢(x) > 0, то слева применяем метод хорд, а справа метод Ньютона (метод касательных).

Формулы метода:

В качестве точек начального приближения выбираются: x₀  = a,  .

4. Условие остановки итерационного процесса: , при выполнении этого условия любая точка из отрезка [] приближает корень уравнения с точностью e. Чаще всего принимают: .

На рис. 2.8. иллюстрируется применение комбинированного метода хорд и касательных. В рассматриваемом случае справа применяется метод Ньютона, а слева – метод хорд.

Пример

Построить алгоритм для уточнения корня уравнения x³ + 3x – 1 = 0 комбинированным методом хорд и касательных с точностью eна отрезке [0.1, 1].

Решение

1. В предыдущих примерах мы проверили, что отрезок [0.1, 1] содержит один корень уравнения, и выполняются все условия для применения метода Ньютона:

.

2. Определим, какой из методов нужно применять слева, а какой справа:

Следовательно, слева применяем метод хорд, а справа – метод касательных (Ньютона). Запишем формулы:

3. Точки начального приближения:

x₀ = 0.1 ,  .

4. Условие остановки итерационного процесса:

.

Приближенное значение:   .

При выполнении условия остановки итерационного процесса х_* является приближенным значением корня уравнения, полученным комбинированным методом хорд и касательных с точностью e.

2.8. Метод итераций

1. Пусть известен отрезок [a, b], содержащий один корень уравнения f(x) = 0. Функция f(x) является непрерывно дифференцируемой на [a, b] (f(x) Î C¹[a, b]). Первая производная функции f не обращается в ноль на отрезке [a, b] (f ¢ ¹ 0).

2. Формула метода:

 ,  то есть 

Здесь p – константа, которая выбирается следующим образом: знак p – совпадает со знаком f¢(x) на [a, b]:

, а модуль p выбирается из условия:

 , где .

3. Метод итераций сходится для любого начального приближения x₀=[a, b], если

В качестве х₀  выбирается один из концов отрезка [a, b].

4. Условие остановки итерационного процесса:

.

Число х_n+1, для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным значением корня уравнения, полученного с помощью метода итераций с точностью e.

Пример

Построить алгоритм для уточнения корня уравнения x³ + 3x – 1 = 0 методом итераций с точностью e  на отрезке [0,1].

Решение

1. Отрезок  содержит один корень уравнения, функция f является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке, первая производная функции f не обращается в ноль на этом отрезке:

.

2. Формула метода:

.

 > 0 на [0, 1], следовательно, p > 0.

,  p = 4, следовательно, .

Сразу проверим, что

;

;

.

3. Начальное приближение  x₀ = 0.

4. Условие остановки итерационного процесса:

,                 .

Число х_n+1, для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным значением корня уравнения, полученного с помощью метода итераций с точностью e.

2.9. Примеры решения задач

Задача 1

Отделить корни уравнения  x³ + 5x – 8 = 0 и построить алгоритм для уточнения одного из них методом простой итерации с точностью ε.

Решение

Отделение корней

Запишем f(x) = 0 в виде: x³ = -5x + 8 и построим графики:    y = x³ и y = -5x + 8. Отрезок [1,2] содержит один корень уравнения (рис. 2.9).

Уточнение корня на отрезке [1,2].

1. Отрезок [1,2] содержит один корень уравнения  f(x) = 0. Функция f является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке().

2. Рассмотрим несколько функций φ(x):

а) x³ + 5 x- 8 = 0, отсюда .

.

j₁¢(x) = -0.6 x², отсюда .

Следовательно, φ₁(x) – неудачный выбор.

б) , отсюда  и .

.

Функция φ₂(x) не является непрерывно дифференцируемой на отрезке [1,2].

 .

φ₂(x) – неудачный выбор.

в), следовательно, .

, следовательно, ,

.

φ₃(x) является непрерывно дифференцируемой на [1,2].

;   .

φ₃(x) переводит отрезок [1, 2] в себя. Функция φ₃(x) сначала возрастает на отрезке   , достигает максимума при , а затем убывает.