Как правило, методами вычислительной математики строится приближенное решение задачи, поэтому возникает вопрос об оценке погрешности. То есть насколько сильно найденное нами приближенное решение отличается от точного решения.
Основной вопрос вычислительной математики – это вопрос о погрешности полученного числового результата.
Источники погрешности
В процессе решения задач вычислительной математики возникают следующие погрешности:
погрешность математической модели и погрешность исходных данных;
погрешность численного метода;
погрешность вычислений на ЭВМ.
Рекомендуемая литература: /3,5,6/.
Приближенным числом a называется
число, незначительно отличающееся от точного числа a0 и заменяющее его в
расчетах. Модуль разности между ними: 
–
погрешность приближенного числа a.
Отметим, что число a0 нам не известно и погрешность приближенного числа мы вычислить не можем. Для оценки погрешности вводятся абсолютная и относительная погрешности.
Абсолютной погрешностью
приближенного числа a называется
величина Da, удовлетворяющая неравенству
.
Относительной погрешностью da приближенного числа a называется отношение абсолютной погрешности Da к абсолютной величине числа a, то есть:
.
Относительная погрешность обычно выражается в процентах: da´100 %.
Абсолютная и относительная погрешности указываются в
записи чисел следующим образом: 
.
Пример
x
= 3.14 (1 ± 0.005%).
Значащие цифры десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.
Пример 1
x = 0.002036, цифры 2036 являются значащими;
x = 2.27×106, значащими цифрами являются цифры 2, 2, 7;
x = 2270000, все цифры этого числа являются значащими.
Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.
Пример 2
Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:
x = 0.002306 ± 0.00001.
Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:
x = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.
x = 0.002306,
Dx = 0.00001.
Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.
Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.
Пример 3
x = 1.121 ± 0.003;
x = 1.121;
Dx = 0.003.
В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).
Пример 4
x = 0.002306 ± 0.00007;
x = 0.002306;
Dx = 0.00007.
В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).
Пример 5
x = 12.3 ± 0.5;
x = 12.3;
Dx = 0.5.
В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).
Пример 6
x = 12.3 ± 0.8;
x = 12.3;
Dx = 0.8.
В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).
При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.
Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.
ЭВМ – это машина с конечной памятью, состоящей из слов конечной длины. Возникает проблема представления бесконечного множества чисел конечным множеством чисел, представимых в ЭВМ.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.