Метод прогонки для трехдиагональных матриц, страница 9

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то функция  не является линейным сплайном, если же они выполняются одновременно, то  является линейным сплайном. Проверим эти условия. Первое условие выполнено, так как функции  и  являются полиномами первой степени. Второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить во внутренних узлах сетки. В нашем случае только один внутренний узел сетки, а именно узел . Поэтому второе условие при выполнении первого условия достаточно проверить только в точке , т.е. нужно проверить выполнение равенства . Вычислим  и . Так как , то  - непрерывная функция на отрезке . Оба условия выполнены, следовательно, функция является линейным сплайном.

         Ответ:   функция  является линейным сплайном.

Задача 5. Определить, является ли функция  параболическим сплайном, удовлетворяющим краевому условию , где ,

Решение. Запишем функцию  в виде:

,  ,  . Для того, чтобы функция  являлась параболическим сплайном, удовлетворяющим краевому условию , одновременно должны выполняться три условия:

1.  функции  и  - полиномы второй степени;

2.  функция  - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке ;

3.  функция  удовлетворяет краевому условию .

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то функция  не является параболическим сплайном, удовлетворяющим заданному краевому условию. Проверим эти условия. Первое условие выполнено, так как функции  и  являются полиномами второй степени. Второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить только во внутренних узлах сетки. В нашем случае только один внутренний узел сетки, а именно узел . Поэтому  второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить только в точке , т.е. нужно проверить выполнение равенств  и . Вычислим , ; ,  ,  ,  . Так как , то  - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке . Для проверки третьего условия вычислим значение  производной функции  в точке : . Так как , то третье условие выполнено.

Три условия выполняются одновременно, следовательно, функция  является параболическим сплайном, удовлетворяющим краевому условию .

Ответ: функция  является параболическим сплайном, удовлетворяющим краевому условию .

Задача 6. Определить является ли функция  естественным кубическим сплайном, где:

Решение. Запишем функцию  в виде:

,  ,  . Для того, чтобы функция  являлась естественным кубическим сплайном, одновременно должны выполняться три условия:

1.  функции  и  - полиномы третьей степени;

2.  функция  - дважды непрерывно дифференцируемая функция на отрезке                                                                                                                 ;

3.  функция  удовлетворяет двум краевым условиям: ,.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то функция не является естественным кубическим сплайном. Проверим эти условия. Первое условие выполнено, так как функции  и  являются полиномами третьей степени. Второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить только во внутренних узлах сетки. В нашем случае только один внутренний узел сетки, а именно узел . Поэтому второе условие, при выполнении первого условия, достаточно проверить только в точке , т.е. нужно проверить выполнение равенств: ,   и . Вычислим ,  ; ,  , ,  ; ,  ,  ,  . Так как , то  - дважды непрерывно дифференцируемая функция на отрезке . Для проверки третьего условия вычислим значения второй производной функции  в краевых точках:  и . Третье условие выполнено.

Три условия выполняются одновременно, следовательно, функция  является естественным кубическим сплайном.

Ответ: функция  является естественным кубическим сплайном.

 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ 5

Построим алгоритм для интерполяции функции  на отрезке  естественным интерполяционным кубическим сплайном с равномерным шагом. Будем опираться на материал, изложенный в п.п.2.3.

Как и в задании 1, число отрезков , шаг, где , . Введем сетку на отрезке : .