Метод прогонки для трехдиагональных матриц, страница 3

Пример программы, которая по интерполяционной таблице строит интерполяционный линейный сплайн, приводится в примере выполнения задания 1 расчетно-графического задания 1.

Теорема существования и единственности.        Пусть на отрезке  задана интерполяционная таблица , , причем все узлы сетки различны ( при ). Тогда существует единственный линейный сплайн  такой, что .

Другими словами, для интерполяционной таблицы, в которой все узлы сетки различны, существует единственный интерполяционный линейный сплайн, удовлетворяющий этой таблице.

Отметим, что как и при интерполяции полиномами, требование, чтобы все узлы сетки были различны, является очень важным при интерполяции сплайнами.

Нахождение коэффициентов интерполяционного линейного сплайна

Мы уже отмечали, что из определения интерполяционного линейного сплайна следует система линейных уравнений размерности  относительно неизвестных  и , . Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, если все узлы сетки различны (). Система линейных уравнений легко решается, и мы можем записать формулы для нахождения коэффициентов  и :

,    ,    .

Производная линейного сплайна – это кусочно-постоянная функция на отрезке :  для  из отрезка .

Нахождение значений интерполяционного линейного сплайна

Если нам уже известны все коэффициенты  и ,  интерполяционного линейного сплайна , то для нахождения его значения в любой точке  из отрезка  нужно знать еще номер  отрезка , такого что .

Воспользуемся простой формулой для нахождения этого номера: . Следовательно, .

Недостатком этой формулы является то, что при  мы получаем , а индекс  меняется в пределах от  до . В этом случае можно поступить следующим образом. Введем дополнительные коэффициенты  и . Определим их следующим образом ,    .

Сложность вычислительного алгоритма построения интерполяционного линейного сплайна. Число арифметических действий, необходимых для построения интерполяционного линейного сплайна, пропорционально числу отрезков (), объем памяти также пропорционален числу отрезков ().

2.2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СПЛАЙН

Из названия сплайна понятно, что параболический сплайн – это функция, состоящая из «кусочков» парабол. Эти «кусочки» состыкованы таким образом, чтобы параболический сплайн являлся непрерывно дифференцируемой функцией. Обозначим  параболический сплайн. Для каждого  из отрезка

, где ,  и  - числовые коэффициенты. Таким образом, на каждом отрезке ,  три неизвестных коэффициента: ,  и , а на всем отрезке  число неизвестных коэффициентов равно . Для того, чтобы однозначно определить интерполяционный параболический сплайн на отрезке , нам требуется  уравнений относительно  неизвестных ,  и .

Так как  является интерполяционной функцией, то первые  уравнения получаем из условий , . Во всех внутренних узлах сетки функция  должна быть непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией, следовательно получаем еще  уравнения. В сумме получаем  линейных уравнений. Нам необходимо еще одно условие. Естественно ввести краевое условие, то есть условие либо в точке , либо в точке . Так как условия на функцию  в этих точках уже заданы, введем условие на .

Для того, чтобы однозначно определить интерполяционный параболический сплайн, требуется одно краевое (граничное) условие. Либо задается условие в точке  , либо в точке : . В дальнейшем мы будем предполагать, что задано левое краевое условие .

Определение интерполяционного параболического сплайна.    Пусть на отрезке  задана сетка , в узлах которой заданы значения ,. Интерполяционным параболическим сплайном называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

1)  функция  – непрерывно дифференцируемая функция на ;