Корректирующая способность кода, верность передачи сообщений кодом, страница 10

§Укороченные линейные коды.

Линейный (n,k)-код, содержащий 2^k комбинаций, называется полным линейным кодом. Из каждого последовательного линейного кода может быть получен новый линейный (n-i, k-i)-код, содержащий 2^k-I комбинаций и имеющий d не меньше, чем исходный линейный код. Этот код называется укороченным линейным кодом, а число i – степенью укорочения полного линейного кода. Число проверочных символов в укороченном линейном коде такое же, как и в полном линейном коде, из которого он получен. Действительно, для линейного кода

r=(n-i)-(k-i)=n-k, т.е. укорочение полного кода осуществляется за счет уменьшения в нем числа информационных символов.

Возможность получения укороченного кода вытекает из следующих соображений. Рассмотрим все 2^k комбинаций полного линейного кода. В эти комбинации в качестве первых k символов входят комбинации k-разрядного нормального двоичного кода. Поскольку в k-разрядном нормальном двоичном коде ровно 2^k-1 комбинаций начинаются с нуля и 2^k-1 с единицы, то и в линейном (n,k)-коде  2^k-1 начинается с нуля. Выберем эти комбинации будем рассматривать их как новый код с2^k-1 комбинациями. Поскольку все эти комбинации принадлежат исходному коду, то d нового кода не меньше, чем у исходного, кроме того равенство нулю первого символа во всех комбинациях нового кода означает, во-первых, что в этом разряде различия комбинаций нет и, следовательно, d нового кода не зависит от первого символа и , во-вторых, , что этот символ не влияет на значение проверочных символов комбинации, т.к, входя в соответствующие суммы по модулю 2, при формировании проверочных символов, он входит как ноль. Раз это так, то указанный символ можно отбросить, в результате чего получим линейный код с k-1 информационными символами и с d не меньшим, чем у исходного кода. При использовании для описания линейных кодов ТЛФ, укорочение кода на 1 символ выражается в удалении символа a₁ из всех сумм, куда он входит, и уменьшении в них на 1 номеров других информационных символов.

Пример:

Записать правило формирования проверочных символов для укороченного (6,3)-кода, полученного из полного (7,4)-кода, задаваемого первым набором коэффициентов C_ji