x = A0 e- βt cos(ωt + φ0), где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:
A = A0 e- βt.
Логарифмическим декрементом затухания называют:
λ = ln 
= βT, где Т – период колебания: T
= 
.
Добротностью колебательной системы называют:
D = 
.
Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:
y = y0 cos ω(t ± 
), где у – смещение колеблющейся величины от
положения равновесия, у0 – амплитуда, ω – круговая частота, t
– время, х – координата, вдоль которой распространяется волна, υ
– скорость распространения волны.
Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X, знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х.
Длиной волны называют ее пространственный период:
λ = υT, где υ–скорость распространения волны, T–период распространяющихся колебаний.
Уравнение волны можно записать:
y = y0 cos 2π (
+ 
).
Стоячая волна описывается уравнением:
y
= (2y0 cos 
) cos ω t.
В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,
xп = n
, точки с нулевой амплитудой – узлами,
xу = (n + 
).
Задача 20
Амплитуда
гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза 
. а) Записать уравнение этого колебания;
б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при t=0 и при t = 1,5 с; в)
начертить график этого движения.
Решение
Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(wt + j0).
По условию
известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту w = 
. Остальные параметры известны:
а) x = 0,05 cos(
t+ ).
б) Смещение x при t = 0.
x1 =
0,05 cos= 0,05 
=
0,0355 м.
При t = 1,5 c
x2 =
0,05 cos(1,5 + )=
0,05 cos p= –
0,05 м.
в) график функции x=0,05cos (t+ ) выглядит следующим образом:
Определим положение нескольких точек. Известны х1(0) и х2(1,5), а также период колебаний. Значит, через Dt = 4 c значение х повторяется, а через Dt= 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0 .
Задача 21
Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.
Решение
1 способ. Записываем уравнение колебания точки:
x =
0,05 cos p t, т. к. w = 
= p.
Находим скорость в момент времени t:
υ = 
= – 0,05 cos p t.
Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:
0,025 = 0,05 cos
p t1, отсюда cos pt1 = , pt1 = 
. Подставляем это значение в выражение для
скорости:
υ = – 0,05 p sin = – 0,05 p
= 0,136 м/c.
2 способ. Полная энергия колебательного движения:
E = 
, где а –
амплитуда, w – круговая
частота, m – масса частицы.
В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки
Ek = 
, Eп = 
, но k = mw2, значит, Eп = 
.
Запишем закон сохранения энергии:
= + , отсюда
получаем: a2w2 = υ
2 + w2x2,
υ = w 
= p 
= 0,136 м/c.
Задача 22
Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F= 2,25∙10-5 Н?
Решение
Полная
энергия точки, совершающей гармонические колебания,
равна: E = 
.(13)
Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия x следующим образом:
F = k x (14)
В формулу (13) входят масса m и круговая частота w, а в (14) – коэффициент жесткости k. Но круговая частота связана с m и k:
w2 = 
, отсюда k = mw2 и F = mw2x. Выразив mw2 из соотношения
(13) получим: mw2 = 
, F = x.
Откуда и
получаем выражение для смещения x: x = 
.
Подстановка числовых значений дает:
x = 
= 1,5∙10-2 м = 1,5 см.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.