Механика: Методические указания к практическим занятиям дисциплины "Физика", страница 5

Рассчитаем a_n, сократив массу

 = tg a, отсюда                             υ = =41,5 м/с.

3. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Основные формулы

Мерой инертности твердого тела при вращательном движении является момент инерции:

I=  Σm_i∙ r_i², где m_i – элементарная масса  i – го кусочка тела, r_i – расстояние этого кусочка от оси вращения.

Моменты инерции некоторых твердых тел относительно оси, проходящей через их центры масс:

Полый цилиндр                        I = m ( R₁² + R₂²).

Тонкий обруч                                   I = mR².

Сплошной цилиндр                  I =  mR².

Шар                                               I = mR².

Тонкий стержень                         I = ml².

Если ось вращения не проходит через центр масс, для расчета момента инерции используют теорему Штейнера:

I = I₀  + ma², где I – момент инерции тела относительно данной оси, I₀ – момент инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей  через центр масс, m – масса тела,  а – расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела:                                    I e = M, где I – момент инерции твердого тела, относительно оси вращения,     e – его угловое ускорение, М – суммарный момент сил, действующий на тело относительно данной оси.

Момент силы F равен:              M = Fl, где l – расстояние от линии, вдоль которой действует сила, до оси  вращения.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси:                                                         L = Iω, где I – момент инерции твердого тела относительно данной оси,         ω – угловая скорость его вращения.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси:                              L = mυr, где m – масса частицы, υ – ее скорость, r – расстояние от линии, вдоль которой движется частица, до данной оси.

В замкнутой системе частиц полный момент импульса не меняется:                                    ΣL_i = const.

Кинетическая энергия вращающегося тела:

E_k  = , где I – момент инерции тела, ω – его угловая скорость.

Кинетическая энергия катящегося тела:

E_k  =   + , где  m –  масса тела,  υ₀ – скорость поступательного движения центра масс, I₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость вращения тела.

Примеры решения задач

Задача 13

Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.

                                           Решение

Разобьём конус на цилиндрические слои   ось            толщиной dr. Масса такого слоя 

                                           dm = rpr²dr, где ρ – плотность материала, из которого изготовлен конус. Момент инерции этого слоя

dI = dm^.r².

Момент инерции всего конуса                складывается из моментов инерции всех слоёв:

                                               I =  =  ρπ r ⁴ dr = ρR⁵.

Остаётся выразить его через массу всего цилиндра:

m = ==R³, отсюда                                           ρ = ,

                                       I =  =  mR².

Задача 14

Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг∙м², вращается с частотой 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил.

Решение

При торможении угловое ускорение отрицательно. Найдём его модуль из кинематического соотношения для угловой скорости.

ω ₀  = 2 π ν₀,  ω = 0,

0 = 2 π ν₀  -  ε t, отсюда                                              ε  = .

Это ускорение обусловлено действием момента сил трения

M_тр = I ε = .

Полный угол поворота при равнозамедленном движении находится из соотношения:

φ  = ω₀ t- ,

φ  =2π N,     ω ₀  = 2 π ν₀,    ε = .

Перепишем соотношения для угла в виде:

2π N = 2 π ν₀ t -  = 2 π ν₀ t -  = .