Методика снятия временных и частотных характеристик линейных динамических систем. Типовые воздействия

2 Лабораторная работа №1

Методика снятия временных и частотных характеристик линейных динамических систем. Типовые воздействия

2.1 Цель лабораторной работы

Целью данной лабораторной работы является освоение методики исследования линейных динамических звеньев и систем с помощью пакетов прикладных программ Simulink, Power System Blockset, LTI Viewer системы MATLAB.

2.2 Теоретическая подготовка

Изучите гл. 3 (с.54-56) и п. 1.3 (с. 28-31) соответственно в [1] и [2]. Особое внимание обратите на то, что характер процесса управления зависит как от структуры и параметров самой автоматической системы, так и от вида внешних воздействий и места их приложения. Ознакомьтесь с математическим описанием типовых внешних воздействий.

В данной лабораторной работе будут рассмотрены наиболее часто используемые типовые воздействия: единичная ступенчатая функция  - функция Хевисайда, единичный импульс  - функция Дирака , линейно-изменяющееся воздействие  и  гармоническое воздействие . Важной особенностью данных типовых воздействий является то, что они имеют нулевое значение при .

Единичная ступенчатая функция описывается следующей зависимостью:

                                             ,                                    (2.1)

и имеет вид, представленный на рис. 2.1,а.

Если ступенчатое воздействие возникает в момент времени, отличный от нуля, как это показано на рис.2.1,б, то такая функция описывается уравнением:

                                           .                                 (2.2)

Дельта-функция Дирака -  имеет следующее математическое описание:

                                             .                                    (2.3)

Таким образом, это импульс с бесконечной амплитудой, площадь которого принимается равной 1, т.е.

                                                  .                                         (2.4)

Для автоматических систем является менее распространенным видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая функция. Однако для теоретического описания последних имеет существенное значение.

Единичная ступенчатая функция  легка для практической реализации с высокой точностью, однако дельта-функцию Дирака  реализовать сложнее. Для практического исследования систем и их моделирования ее можно грубо представить с помощью двух ступенчатых функций:

                                           ,                                 (2.5)

где:    - реальный импульс;

- амплитуда функций ();

 - время, на которое запаздывает вторая ступенчатая функция ().

Графическое представление функций (2.3) и (2.5) дано соответственно на рис. 2.2,а и рис. 2.2,б.

Как видно из рис. 2.2,б, площадь реального импульса будет равняться:

                                                .                                      (2.6)

В соответствии с (2.4) и (2.6) реакции линейных динамических звеньев (систем) на реальный и идеальный скачки будут отличатся в масштабе  равном:

                                                      .                                             (2.7)

При выборе амплитуды и длительности реального импульса руководствуются техническими характеристиками исследуемой системы. Например, для электрической цепи амплитуда импульса  должна быть несколько меньшей или равной предельно допустимому напряжению для данной цепи. Длительность импульса , как правило, выбирают на 1-2 порядка меньшей самой малой постоянной времени исследуемой системы.

Единичные ступенчатые (2.1) и (2.2) функции можно рассматривать как "функции-включатели". Чтобы задать момент времени  включения некоторой произвольной функции  достаточно ее домножить на единичную ступенчатую функцию, т.е.

                                               .                                     (2.8)

Выражение (2.8) служит основой для получения таких типовых воздействий как скачек амплитудой  (при ), типовое линейно-изменяющееся воздействие (при ,  - скорость изменения сигнала), типовое гармоническое воздействие (при ).

Линейно-изменяющееся воздействие (рис. 2.3,а) описывается следующей зависимостью:

                            ,                  (2.9)

Линейно-изменяющееся воздействие, возникающее в момент времени t (рис. 2.3 б), описывается как:

                     ,         (2.10)

Формула общей зависимости, описывающая типовое гармоническое воздействие следующая:

                                        (2.11)

в случае применения задержанной функции ее описание модифицируется аналогично выше приведенным примерам. График гармонического типового воздействия показан на рис. 2.4.

Типовые воздействия (2.1)-(2.3), (2.5), (2.9), (2.10) позволяют получить переходные (временные) характеристики звена (системы), а воздействия типа (2.11) – частотные характеристики. Следует заметить, что данные характеристики дают исчерпывающее описание динамических и статических свойств звена (системы).

В данной лабораторной работе рассматривается методика получения временных и частотных характеристик на примере апериодического, которым представляется электрическая цепь, изображенная на рис. 2.5.

Составим уравнение динамики электрической цепи представленной на рис. 2.5. Уравнение динамики системы (звена) – уравнение, определяющее зависимость выходной величины системы (звена)  от входной : . Оно может быть записано в дифференциальной и операторной формах.

Применительно к электрической цепи (рис. 2.5) имеем:

                                           

Исключая промежуточную координату  получим:

                                                                            (2.12)

где:  - постоянная времени;  - коэффициент усиления звена.

Переходя от дифференциальной формы записи уравнения (2.12) к операционной форме запишем:

                                                                            (2.13)

где: - изображения по Лапласу функций времени .

Перейдем к передаточной функции звена (системы)  - функции, представляющей собой отношение изображений по Лапласу выходной  и входной  величин при нулевых начальных условиях:

                                                   .                                       (2.14)

Передаточная функция рассматриваемой электрической цепи может быть определена из уравнения (2.13) в следующем виде:

                                            .                                (2.15)

Звено с передаточной функцией (2.15) в теории автоматического управления получило название апериодического.

2.3 Методика выполнения работы

2.3.1 Использование Power System Blockset (имитационное моделирование)

Данная методика наиболее близка к лабораторным исследованиям реальных электрических цепей, что важно для изучения курса ТАУ электротехнических специальностей. В Power System Blockset модель объекта получается непосредственно из принципиальной схемы электрической цепи, воздействия формируются виртуальными источниками переменного или постоянного напряжения (тока), переходные процессы контролируются с помощью виртуальных контролирующих приборов (осциллограф, датчики токов и напряжений и т.п.).

Используя схему рис. 2.5, создадим в Power System Blockset следующую модель (рис. 2.6). Исследуемая цепь на рис. 2.6 представлена элементами  (Parallel RLC Branch с параметрами: ) и  (Parallel RLC Branch с параметрами: ).