Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (Лабораторная работа № 3)

Билет № 2

Лабораторная работа №3: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Цель: ознакомится с методами численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Получить навыки в разработке алгоритмов и программ реализующих методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Закрепить знания по использованию пакета прикладных программ на примерах расчёта теплообменников ТЭС.

Дано: D_д  = 6кг/с; t_д = 180 ⁰C;  Р_n = 0,7 МПа; t_n = 170 ⁰C; Р_д = 0,6 МПа; G_пв = 85 кг/с;  Р’_n = 0,2 МПа; t’_n = 140 ⁰C; Р_ок = 1,1 МПа; t_ок = 35 ⁰C;

Найти: D_n; G_см; t_см; D’_n; G_ок.

Составляем уравнения балансов:

D_д + D_п + G_см = G_пв

D_дŧ_д + D_пh_n +  G_смŧ_см = G_пвŧ_пв

D’_n + G_ок = G_см

D’_nŧ’_д + G_окŧ’_ок = G_смŧ_см

D’_n(h’_n – ŧ’_д) = G_ок (ŧ’_ок - ŧ_ок)

Сложим первое с третьим и второе с четвёртым уравнением:

D_д + D_п + D’_n + G_ок = G_пв

D_дŧ_д + D_пh_n +  D’_nŧ’_д + G_окŧ’_ок = G_пвŧ_пв

D’_n(h’_n – ŧ’_д) = G_ок (ŧ’_ок - ŧ_ок)

Находим известные величины:

h_п = f(Р_n; t_n) = f(0,7МПа; 170 ⁰C ) =  2758,5 (кДж/кг).

h’_п = f(Р’_n; t’_n) = f(0,2МПа; 140 ⁰C ) =  2724,1 (кДж/кг).

ŧ_д = t_д · С_в = 180 · 4,19 = 754,2(кДж/кг).

ŧ’_д = t_s (Р’_n) · С_в = 120,23 · 4,19 = 503,8 (кДж/кг).

ŧ’_ок = (t_s( Р’_n)  - Q) · С_в = (120,23 - 5) · 4,19 = 482,8 (кДж/кг).

ŧ_ок = t_ок · С_в = 35 · 4,19 = 146,7(кДж/кг).

ŧ _пв = t_s (Р_д) · С_в = 158,83 · 4,19 = 665,5 (кДж/кг).

Подставляем найденные величины в систему уравнений:

6 + D_п + D’_n + G_ок = 85

4525,2 + 2758,5 D_п +  503,8D’_n + 482,8G_ок = 56567,5

2220,3D’_n = 336,1G_ок

D_п + D’_n + G_ок = 79

2758,5 D_п +  503,8D’_n + 482,8G_ок = 52042,3

2220,3D’_n - 336,1G_ок  = 0

1.  Решаем данную систему уравнений методом Крамера:

Составляем матрицу:

Находим главный определитель

  = 4276701,4

Находим второстепенные определители

 = 25745742,4

 = 41013566,4

 = 271100101,7

Находим искомые величины

D_n = Δ₁/Δ = 25745742,4 / 4276701,4 = 6,02(кг/с)

D’_n = Δ₂/Δ = 41013566,4 / 4276701,4 = 9,59(кг/с)

G_ок = Δ₃/Δ = 271100101,7 / 4276701,4 = 63,39(кг/с)

2.  Решаем СЛАУ методом Гаусса:

D_п + D’_n + G_ок = 79

2758,5 D_п +  503,8D’_n + 482,8G_ок = 52042,3

2220,3D’_n – 336,1G_ок  = 0

Умножим первое уравнение на а₂₁ / а₁₁ и вычтем его из второго уравнения:

D_п + D’_n + G_ок = 79

– 2254,7D’_n – 2275,7G_ок = – 165879,2

2220,3D’_n – 336,1G_ок  = 0

Умножим второе уравнение на а₃₂ / а₂₂ и вычтем его из третьего уравнения:

D_п + D’_n + G_ок = 79

– 2254,7D’_n – 2275,7G_ок = – 165879,2

– 2577,08G_ок  = – 163348,38

Отсюда,

G_ок  = – 163348,38/– 2577,08 = 63,39(кг/с)

D’_n = (– 165879,2 + 2275,7 · 63,39)/ - 2254,7 = 9,59(кг/с)

D_п  = 79 – 63,39 – 9,59 = 6,02(кг/с)

Найдём недостающие величины:

D’_n + G_ок = G_см

G_см = 9,59 + 63,39 = 72,98(кг/с)

D’_nŧ’_д + G_окŧ’_ок = G_смŧ_см

ŧ_см = (D’_nŧ’_д + G_окŧ’_ок)/ G_см

ŧ_см = (9,59 · 503,8  + 63,39 · 482,8)/72,98 = 485,6(кДж/кг)

t_см = ŧ_см/С_в = 485,6/4,19 = 115,9 ⁰С

Заключение: при решении системы линейных алгебраических уравнений ответы получились одинаковыми.

Билет № 6

Лабораторная работа №3: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Цель: ознакомится с методами численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Получить навыки в разработке алгоритмов и программ реализующих методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Закрепить знания по использованию пакета прикладных программ на примерах расчёта теплообменников ТЭС.

Дано: Р_n = 1,3 МПа; t_n = 240 ⁰C; Р_д = 0,7 МПа; G_пв = 120 кг/с; Р_ок = 1 МПа; t_ок = 135 ⁰C;     D_хов = 10 кг/с; t_хов = 30 ⁰C;        

Найти: D_n; G_ок; t''_пв.  

Составляем уравнения балансов:

D_n1 + D_n2 + D_хов + G_ок  =  G_пв

D_n1h_п + D_n2ћ_д + D_ховћ_хов + G_окћ_ок  =  G_пвћ_пв

D_n2 (h_п – h'_п) = G_пв ( ћ''_пв – ћ_сп )

D_n2 (h'_п – ћ_д) = G_пв (ћ_сп – ћ_пв )

Находим известные величины:

h_п = f(Р_n; t_n) = f(1,3МПа; 240 ⁰C ) =  2903,2(кДж/кг).

ћ_д = h’( Р_n) = 814,6(кДж/кг).

ћ_хов = t_хов · С_в = 30 · 4,19 = 125,7(кДж/кг).

ћ_ок  = f(Р_ок; t_ок) = f(1МПа; 135 ⁰C ) = 568,2(кДж/кг).

ћ_пв = h’( Р_д) = 697,05(кДж/кг).

h'_п = f(Р_n; t_s( Р_n)  + 10 – 15 ⁰C) = f(1,3МПа; 191,61 + 12,5 ⁰C ) = 2810,2(кДж/кг).

h_сп = f(Р_n; t_s( Р_n)  - Q) = f(1,3МПа; 191,61 - 3 ⁰C ) = 801,3(кДж/кг).

Подставляем найденные величины в систему уравнений:

D_n1 + D_n2 + G_ок  =  110

2903,2D_n1 + 814,6D_n2 + 568,2G_ок  =  82389

93D_n2  = 120ћ''_пв – 96156

1995,6D_n2 = 12510

Отсюда находим D_n2 и ћ''_пв.

D_n2 = 12510 / 1995,6 = 6,27 (кг/с)

ћ''_пв = (93 · 6,27 + 96156) / 120 = 806,2(кДж/кг).

t''_пв = ћ''_пв / С_в = 806,2 / 4,19 = 192,4  (⁰C).

Подставляем найденные величины в систему уравнений:

D_n1 + G_ок  =  103,73

2903,2D_n1 + 568,2G_ок  =  77281,5

1.  Решаем данную систему уравнений методом Крамера:

Составляем матрицу:

1                1                       103,73                       D_n1

А =                                         В =                             Х =

2903,2      568,2                    77281,5                       G_ок