Гуманитарные аспекты темы «Дроби» в современных учебниках математики для начальной школы

УДК   51 (075.5)            С. Е.    ЦАРЁВА             

      кандидат педагогических наук, доцент

(Новосибирский государственный педагогический университет)

Гуманитарные аспекты темы «Дроби»
в современных учебниках математики
для начальной школы

Гуманитаризация образования, в частности математического, одна из важнейших задач современной школы [1,2]. Решить её можно лишь в том случае, когда будет определён гуманитарный потенциал каждой темы, раздела, вопроса школьного курса математики и будут найдены средства реализации этого потенциала в учебном процессе.

Прежде всего отметим, что математика, по мнению многих учёных, является гуманитарной наукой — «… она [математика — С.Ц.] изучает природу не непосредственно, а с помощью создаваемых ею абстрактных конструкций, которые сами становятся для неё объектом изучения. В таких конструкциях отразились закономерности действительного мира, но это не мешает им быть прекрасными творениями человеческого духа. Но изучение творений человеческого духа — общепризнанная прерогатива гуманитарных наук [3]. А.Г. Мордкович [4] высказался ещё более определённо: «Математика — гуманитарный предмет, который позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности».

Тема «Дроби» для анализа выбрана нами не случайно. Числа, расширение чисел чрезвычайно богаты гуманитарными смыслами. Изобретение дробей людьми обусловлено сугубо человеческими причинами.

Из оснований арифметики известно, что существует две основные причины расширения числового множества (иначе: изобретения новых чисел): практические и теоретические. Практическими причинами считают потребности практики, а именно: потребности числового обозначения результатов измерения и других способов количественного сравнения в случаях, когда они не могут быть выражены натуральным числом.

К теоретическим причинам относят потребности разрешения определённых трудностей соответствующих теорий.

Рассмотрим детальнее эти причины по отношению к понятию дроби, т.е. изложим одну из возможных версий ответа на вопрос: «Каковы причины изображения людьми дробей?». Для ответа проведём следующие рассуждения.

Натуральные числа «придуманы» как средство обозначения, хранения и передачи информации о количественных отношениях, о количествах. В частности, натуральным числом мы обозначаем количество отдельных предметов в группе — результат сравнения множества предметов группы с отдельным, одним предметом. Однако иногда в качестве единицы счёта мы берём не отдельный предмет группы, а всю группу.

Например, количество яиц мы часто считаем десятками. В этом случае натуральное число может быть использовано только тогда, когда речь идёт об одном или нескольких «полных» десятках: 1 дес., 2 дес., 3 дес. и т.д. Если же нам нужно обозначить и передать кому-либо информацию о количестве яиц в неполном десятке, то у нас есть две возможности: а) изменить единицу счёта, взяв вместо десятка яиц одно яйцо и обозначить количество яиц натуральным числом; б) не менять единицу счёта и придумать новый способ обозначения рассматриваемого количества, так как натуральное число в обычном смысле для этой цели не годится.

Реализуя вторую возможность мы можем вновь пойти двумя путями. Первый: взять в качестве обозначения количества яиц любое слово, которого нет в языке, либо известное слово, заявив в качестве нового его значения — количественную характеристику «неполного десятка» яиц. Второй: использовать для обозначения уже известные натуральные числа, придумав такой способ этого обозначения, который позволял бы различать, в каком случае натуральное число или числа обозначают количество полных десятков, а в каком — неполный десяток.

Если идти первым путём, то для каждого нового неполного десятка (для одного, двух, трёх, …, девяти яиц) нужно будет изобретать новое слово и новые графические знаки.

Второй путь рассмотрим на конкретных примерах. Пусть у нас столько яиц, сколько нарисовано кружков на рис. 1а, 1б, 1в.

 

       а)                                       б)                                         в)

Рис. 1

Так как яиц меньше десятка, то, следовательно, они составляют лишь часть десятка. В случае 1а эта часть такова, что если к ней добавить ещё такую же, то получится целый десяток. Но тогда можно, используя натуральные числа, так характеризовать количество яиц: «Яиц столько, сколько получится если десяток яиц разделить на две равные (по количеству отдельных яиц) части, и взять одну такую часть. В этой характеристике использованы два натуральных числа: число «один» (1) и число «два» (2). Очевидно, что именно из этих чисел можно построить новое обозначение. Таким обозначением могло бы быть обозначение (1,2), или (2;1), или ²/₁ или ½. Именно последнее обозначение стало общепринятым. Словесное его название «одна вторая».

Для рисунков 1б и 1в аналогичные рассуждения привели бы к обозначениям: «одна пятая» (¹/₅), «семь десятых» (⁷/₁₀).

Другим источником дробей является измерение. Относительно них также можно провести рассуждения, аналогичные описанным выше. Гуманитарный смысл понятия дроби при этом проявляется сразу же, как только мы ставим себя в позицию человека, перед которым возникла проблема обозначения, сохранения и передачи информации о результатах измерения в том случае, когда натуральным числом эта информация не может быть обозначена.

Выстраивание версий появления дробей как способа решения практических проблем позволяет символами, знаками, математическими понятиями увидеть человека, его потребности, способы их удовлетворения, что и составляет «человеческий» смысл математических понятий.

Поставим теперь вопрос о том, какие трудности теории могли привести к изобретению дробей.