Множество дробей является расширением множества натуральных чисел. Следовательно, «трудности» необходимо искать в теории натурального числа. Такой трудностью явились «недостатки» действия деления, а именно, невозможность выполнения деления для многих пар чисел. Действительно, в натуральных числах деление выполнимо для меньшей части всех пар натуральных чисел. Так, ни одно меньшее число не может быть разделено на большее так, чтобы частным было натуральное число. Невозможность деления, как и невозможность любого действия, не только математического, психологически воспринимается человеком как ущемление его свободы, как показатель ущербности. Поэтому люди, занимающиеся числами (кстати, на Руси ХVI–ХVII вв. их называли «числолюбцами»), стремились избавить себя от дискомфорта, вызванного невозможностью деления нацело. Выходов было найдено два. Один из них — изобретение деления с остатком, второй — изобретение дроби.
Рассуждения человека, который нашёл второй выход, можно представить себе таким образом.
Если среди натуральных чисел нельзя найти число, которое могло бы быть частным чисел 3 и 4, 4 и 3, 12 и 7, 1 и 2, то нужно «придумать» такие числа. Для этого можно изобрести для каждого «нехорошего» случая специальное, новое слово и новый графический знак (не похожие на названия чисел и цифр, которыми обозначаются натуральные числа. Например, пусть 1 : 2 = J («ляма»), а 4 : 3 = V («бяка») и т.д.
Неудобства таких обозначений таковы.
Пар чисел, для которых нет натуральных частных, бесконечное множество, пар чисел для которых реально человеку и человечеству может понадобиться выполнение деления хоть и конечное число, но всё-таки очень большое. Введение огромного количества новых слов и знаков в дополнение к обозначениям натуральных чисел, сделает процесс обмена между людьми информацией чрезвычайно затруднённым, почти невозможным. Следовательно, нужно искать другой выход. Этот выход заключается в том, что название частного мы составляем из слов-названий натуральных чисел, деление которых хотим сделать выполнимым. И графическое обозначение можно составить из обозначения натуральных чисел. Именно такими могли быть размышления человека, решившего устранить «несправедливость» в числовом «государстве», устранить причину собственной несвободы в действиях с натуральными числами.
Среди вероятных результатов этих размышлений самым «удачливым» было решение обозначать результат деления числа три на число четыре обозначить словосочетанием «три четвёртых» (в русском языке) и знаком ¾, результат деления числа четыре на три словосочетанием «четыре третьих» и знаком 4/3, результат деления двенадцати на семь словосочетанием «двенадцать седьмых» и знаком 12/7 и т.д.
Приведённые рассуждения позволяют увидеть за сухими, как говорят, цифрами людей с их потребностью в красоте, гармонии, свободе, справедливости.
Сказанное раскрывает гуманитарный потенциал темы «Дроби», но не исчерпывает его. Реализация этого потенциала в обучении позволила бы сделать изучение математики интересным, личностно-значимым для учащихся. Помочь в этом могло бы представление в школьных учебниках гуманитарных аспектов этой темы (равно как и других тем).
Проанализируем с этих позиций представление темы «Дроби» в учебниках математики для начальной школы, рекомендованных Министерством образования в 1998/99 и 1999/2000 уч. гг.
Для того чтобы выяснить, как в учебниках разных авторов представлены гуманитарные аспекты понятия «дроби» необходимо ответить на следующие вопросы:
1. Даёт ли учебник возможность понять, что дроби придумали люди, что эти люди такие же, как и мы; что у темы «Дроби» есть богатая история; что обозначаются дроби так, как это сейчас написано в учебниках потому, что люди «договорились» так обозначать, а «договорились» они так, потому что именно такой способ обозначения оказался наиболее удобным, хотя возможны и другие способы обозначения?
2. Есть ли в учебнике материал, который позволяет учащимся понять, что причиной изобретения дробей были потребности людей — материальные и духовные? (Материальные — связанные с необходимостью выполнить практические действия и обозначить эти действия знаками для сохранения и передачи информации; духовные — связанные с необходимостью удовлетворения духовных потребностей человека в красоте, гармонии, справедливости.)
3. Есть ли в учебнике материал об истории возникновения (изобретения) дробей? Ориентирован ли он на понимание гуманитарного смысла дроби и причин изобретения этого понятия?
4. Даёт ли материал учебника возможность понять общее и различное в понятиях «натуральное число» и «дробь»?
Рассмотрим учебники разных авторов и ответим на поставленные выше вопросы по отношению к каждому из них.
Традиционная система обучения математике. Учебники М. И. Моро, М. А. Бантовой, Г. В. Бельтюковой, А. М. Пышкало и др. для 1 – 3 классов, издаваемые с 1990 по 1997 гг.
Тема «Дроби» представлена здесь в учебниках для второго и третьего классов [6, 12], причем, во втором классе она носит название «Доли». Слово «доля» употребляется авторами в значении, описанным в словаре С. И. Ожегова: «Доля – 1) Часть чего-н. Разделить на равные доли. Львиная д.( большая и лучшая часть чего-н.).» [8, c. 141] Дроби ½, ¼, 1/3 и др. рассматриваются как запись долей: «Одну четвёртую долю записывают так: ¼ , одну вторую – так: ½ .» [6, c. 167] В целом, содержание темы составляют сведения о предметном смысле дробей, о сравнении дробей с помощью установления содержательных отношений «больше», «меньше», «равно» между предметами и группами предметов по разным основаниям (основания сравнения не всегда заданы словесно). Во втором классе предусмотрена работа только с дробями, числитель которых единица, а знаменателем является натуральное число, меньшее десяти. В третьем классе в множество изучаемых дробей включаются правильные дроби (термин «правильные» не используется), где числитель и знаменатель – натуральные числа, в основном, первого десятка.
Учебник позволяет детям научиться обозначать любое количество равных частей целого (одного целого) обозначать дробью и по дроби находить и строить части целого, сравнивать дроби на основе их предметного смысла, решать простые задачи на нахождение дроби от числа и числа по дроби от этого числа. Математическое содержание темы представлено в учебнике математически грамотно, логично. Каждый новый вопрос темы подготовлен системой специальных заданий. Авторы учебника никак не обращаются к учителю и учащимся, поэтому он является нейтральным по отношению к ним.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.