Понятие о случайном событии. Частота событий и ее свойства. Аксиоматическое определение вероятности. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы

1. Понятие о случайном событии

Испытание – это опыт, эксперимент, наблюдаемое событие. Результат, исход испытания – событие. Достоверным событием Ω наз-ют событие, которое наступает в результате каждого испытания. Невозможным событием Æ наз-ют событие, не наступающее в результате каждого испытания. Случайное событие – заранее предсказать невозможно.

2. Алгебра событий

Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита. Операции над событиями: 1. сумма событий – событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из слагаемых; 2. произведение – событие, состоящее в наступлении всех событий. Простейшие формулы: АΩ = Ω, АÆ = Æ, АÈА = А, АÇА = А. Алгебра событий не совпадает с алгеброй чисел. Разностью А \ В наз-ся событие, заключающееся в том, что произошло А, и не произошло В. События А₁…А_n наз-ся несовместными, если наступление одного их них исключает наступление другого в одном и том же испытании. Сумма несовместных событий – наступление только 1-го из них. Произведение несовместных событий – невозможное событие. Если событие А не наступает, то наступает событие, называющееся противоположным, обозначающееся . Случайные события образуют группу, если хотя бы одно из них наступает.

3. Пространство элементарных событий

События могут сложными и элементарными, причем сложные события всегда разложимы в элементарные. Произвольное конечное множество  – пространство элементарных событий или исходов, а его элементы – элементарные исходы. Все события могут быть описаны при помощи элементарных исходов. Произвольное подмножество А Ì Ω называется его событием. Достоверное событие совпадает со всем Ω. Если из того, что произошло А → что произошло В, то говорят, что А влечет В, т.е. А Ì В. Это свойство обладает транзитивностью. Два события наз-ся равнозначными, если при каждом испытании они вместе наступают.

4. Частота событий и ее свойства

Относительной частотой Р*(А) наз-ся отношение m, числа опытов, в котором А наступило, к n – общему числу опытов. Условной частотой Р*(А|В) называют отношение k – число опытов, где наступило А, при условии, что наступило В, к m – числу опытов, в которых наступило В. Частота лежит в пределах 0–1. Свойства: 1. частота достоверного события = 1, невозможного = 0; 2. Р*(А + В) = Р*(А) + Р*(В); 3. Р*(АВ) = Р*(А) * Р(В|А). Чем больше n – тем больше Р*(А) → Р(А), т.е. проявляется свойство статистической устойчивости. Таким образом, можно с каждым событием А связать некоторое число Р, называемое вероятностью события А.

5. Аксиоматическое определение вероятности

Будем рассматривать вероятность как функцию от события. Однако не для всех событий из Ω удается определить вероятность, поэтому иногда приходится ограничивать пространство, требуя от него замкнутости относительно введенных выше операций над событиями. Класс подмножеств А называется алгеброй событий, если выполняется ΩÎА. Если А – множество всех подмножеств из Ω, то А – алгебра.

Пусть имеется произвольное конечное множество Ω, и задана функция Р: Ω → [0,1], т.е. элементарному событию из Ω поставлено в соответствие число из отрезка [0,1]. Аксиомы: 1. 0 £ Р(А) £ 1 – аксиома неотрицательности; 2.  – условие нормирования; 3. Р(Æ) = 0; 4. Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А и В несовместны – аксиома аддитивности. Т.е. введение аксиомы представляет собой математическое отражение основных свойств частоты. Тройку (Ω, Р, А) назовем конечным вероятностным пространством.

6. Классическое определение вероятности

Под классическим определением вероятности подразумевают такое вероятностное пространство, в котором все элементарные исходы равновероятны. Таким образом, . Причем Р(w_i) = 1 / |Ω|. Предположим, что А = {w_k1, w_k2, …, w_km}, то вероятность Р(А) = m / n. Вероятность события А равна отношению количества исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов.

7. Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом исходов. В таких случаях пользуются геометрическим определением вероятности. При геометрическом определении в алгебру уже нельзя включить все подмножества, т.к. не все они имеют меру. Пусть некоторое пространство Ω – область евклидова пространства Rⁿ. Исследование состоит в том, чтобы выяснить, какова вероятность того, что наудачу брошенная в эту область точка попадет в область АÎΩ. Геометрическая вероятность – это обобщение классической вероятности, т.к. теперь мы имеем дело с несчетным множеством. Вероятность попадания точки в А есть отношение меры случаев попадания ее в А к мере всех равновозможных случаев, т.е. .

8. Условная вероятность

Часто бывают ситуации, что от осуществления В зависит вероятность А.  Поэтому вводится понятие условной вероятности, которая является мерой зависимости А от В. Условной вероятностью А относительно В называется величина . Если известна условная вероятность, то можно выразить Р(АВ) = Р(В) * Р(А|В) – формула умножения вероятностей. Она обобщается и для произвольного количества событий: .

Если B – произвольное событие, события H₁, H_2, . . ., H_n попарно несов-местны, P(H_k)>0, (k=1,…,n) и H₁ +H₂ + . . . +H_n= Ω , то имеет место следую-щая формула:

9. Независимость событий