Понятие о случайном событии. Частота событий и ее свойства. Аксиоматическое определение вероятности. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы, страница 4

23. Моменты СВ. Дисперсия, ее свойства

Кроме МО, моды и медианы используются еще характеристики, описывающие то или иное свойства распределения. Начальным моментом порядка s называется сумма вида: , для НСВ – . МО – первый начальный момент СВ.

Центрированная СВ – отклонение СВ от ее МО. Центрирование СВ равносильно переносу начала координат в точку МО. Таким образом, центральным моментом s-го порядка называется МО соответствующей центрированной СВ: . ЦМ 1-го порядка = 0.

Дисперсией СВ наз-ся МО квадрата соответствующей центрированной величины. Для непосредственного вычисления служат формулы: . Дисперсия есть характеристика рассеивания СВ вокруг ее МО. Средним квадратическим отклонением СВ называется величина . Свойства дисперсии: 1. Dx ³ 0, = 0 Û x = const; 2. D(a + bx) = b² Dx; 3. x и h – независимые СВ → D(x +h) = Dx + Dh.

24. Совместная функция распределения, ее свойства

Полной характеристикой системы СВ служит многомерный (совместный) закон распределения, который может быть задан ФР или ПР. ФР системы n величин называется вероятность совместного выполнения неравенства вида X_i < x_i. Плотностью распределения системы n величин называется n-я смешанная частная производная, взятая 1 раз по каждому аргументу: . Свойства: 1. зная законы распределения системы, можно определить закон распределения отдельных величин, если положить все остальные аргументы равными ¥, то же выполняется для любого k < nколичества аргументов; 2. плотность распределения отдельной величины можно определить, проинтегрировав плотность распределения системы по всем остальным аргументам; 3. плотность распределения независимых СВ из системы = произведению плотностей этих величин.

25. Условные законы распределения

Если какие-то компоненты вектора (ξ₁,…,ξ_n) в результате опыта уже приняли некоторые значения, то закон распределения оставшихся компонент вектора называется условным законом распределения случайного вектора. Условная плотность распределения: . Если ее проинтегрировать по всем компонентам, получим функцию распределения. Совместная условная функция распределения – ФР при условии, что .

26. Числовые характеристики от СВ

Пусть ζ: Rⁿ→R, зависящая от nпеременных, тогда МО = . МО функции g(ξ₁,ξ₂) равно . Следующая числовая характеристика – ковариация = – имеет порядок произведения СВ, а безразмерной характеристикой является корреляция, характеризующая меру связи двух СВ: . Если |ρ(ξ₁,ξ₂)|=1, то СВ линейно зависимы между собой.

27. Независимость СВ

Обобщим понятие независимости на случай произвольного числа СВ. СВ ξ₁…ξ₂ наз-ся независимыми, если для любого x₁…x_n выполняется равенство: . Следствие 1: СВ с абсолютно непрерывными распределениями являются независимыми ↔ многомерная плотность = произведению частных плотностей. Следствие 2: если 2 СВ независимы, то их ковариация = 0. СВ называются некоррелированными, если ковариация = 0. Из независимости СВ → их некоррелированность, но не наоборот.

28. Характеристическая функция

ХФ φ(t) для СВ называют МО СВ, равной e^itξ, где tÎR. Таким образом, , причем есть обратное преобразование (Фурье) . Момент k-го порядка = производной k-го порядка от ХФ в точке 0, деленной на i^k. Наибольшее значение на практике имеют характеристические функции для нормально распределенных СВ. Свойства ХФ: 1. j(0) = 1; |j_x(t)| £ 1; 2. если a, b = const, для любой СВ x ХФ j_a_x₊_b(t) = j_x(at)*e^itb; 3. если x₁…x_n – независимые СВ и S_n = x₁ +…+ x_n, то j_Sn(t) = j_x₁(t) *…* j_x_n (t); 4. ХФ равномерна и непрерывна; 5. если существует k-й абсолютный момент Е|x|^k < ¥ для некоторого k > 1, то существует непрерывная k-ая производная ХФ j⁽^k⁾(t) и равна i^kЕx^k. Теорема обращения: если F(x) – функция распределения СВ, а j(t) – ее ХФ, то для любых точек непрерывности x и y функции F(x) выполняется равенство . Следствие: ХФ однозначно определяет функцию распределения непрерывной СВ.